[论文解读] Minors and dimension

Bartosz Walczak|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2015

Advanced Graph Theory Research参考文献 21被引用 2

一句话总结

本文证明了：当偏序集的覆盖图排除一个固定的拓扑小图时，其有界高度偏序集的维数是有界的，从而推广了关于平面图和有界树宽覆盖图的先前结果。证明利用了Robertson-Seymour和Grohe-Marx的结构分解定理，建立了这一统一的有界性。

ABSTRACT

Streib and Trotter proved in 2012 that posets with bounded height and with planar cover graphs have bounded dimension. Recently, Joret et al. proved that the dimension is bounded for posets with bounded height whose cover graphs have bounded tree-width. In this paper, it is proved that posets of bounded height whose cover graphs exclude a fixed (topological) minor have bounded dimension. This generalizes both the aforementioned results and verifies a conjecture of Joret et al. The proof relies on the Robertson-Seymour and Grohe-Marx structural decomposition theorems.

研究动机与目标

• 解决Joret等人关于排除拓扑小图的有界高度偏序集维数有界的猜想。
• 推广先前关于平面覆盖图和有界树宽覆盖图的结果。
• 建立一个统一的框架，用于通过排除拓扑小图来界定偏序集的维数。

提出的方法

• 利用Robertson-Seymour图结构定理，对排除固定拓扑小图的覆盖图进行分解。
• 应用Grohe-Marx分解定理，分析此类图的结构特性。
• 利用偏序集的有界高度，控制分解各部分中的维数增长。
• 通过组合论证，将图的结构性质转化为维数约束。
• 结合分解结果与偏序集维数理论，推导出统一的有界性。
• 证明了排除拓扑小图与有界高度的结合，蕴含维数有界。

实验结果

研究问题

• RQ1 当偏序集的覆盖图排除一个固定的拓扑小图时，其有界高度偏序集的维数是否仍然有界？
• RQ2 该维数有界性是否可以超越平面图和有界树宽覆盖图，推广到更广泛的拓扑小图排除图类？
• RQ3 是否存在一个覆盖图的结构条件，能够统一此前偏序集维数有界的结论？

主要发现

• 任何具有有界高度且其覆盖图排除固定拓扑小图的偏序集，其维数都是有界的。
• 维数的有界性仅依赖于偏序集的高度和被排除的小图，而不依赖于偏序集的大小。
• 该结果推广了Streib和Trotter关于平面覆盖图的结果，以及Joret等人关于有界树宽覆盖图的结果。
• 该证明在所有此类偏序集中建立了统一的维数有界性，无论其大小如何。
• Robertson-Seymour和Grohe-Marx的结构分解定理在推导该有界性中起着关键作用。
• 该工作证实了Joret等人关于拓扑小图排除覆盖图的猜想。