[论文解读] Misiurewicz Points for Polynomial Maps and Transversality

Benjamin Hutz, Adam Towsley|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2013

Mathematics and Applications参考文献 19被引用 9

一句话总结

本文通过广义动力多項식（generalized dynatomic polynomials）提供了Misiurewicz点的显式代数公式——即临界点具有严格预周期轨道的单临界与双临界三次多项式参数。研究证明这些参数是具有单重根的特殊构造多项式的根，建立了复参数下的横截性（transversality），并通过判别式与分歧性分析了正特征下横截性失效的原因。

ABSTRACT

The behavior under iteration of the critical points of polynomial maps plays an essential role in understanding its dynamics. We study the special case where the forward orbits of the critical points are finite. Thurston's theorem tells us that fixing a particular critical portrait and degree leads to only finitely may possible polynomials (up to equivalence) and that, in many cases, their defining equations intersect transversely. We provide explicit algebraic formulae for the parameters where the critical points of the unicritical polynomials and bicritical cubic polynomials have a specified exact period. We pay particular attention to the parameters where the critical orbits are strictly preperiodic, called Misiurewicz points. Our main tool is the generalized dynatomic polynomial. We also study the discriminants of these polynomials to examine the failure of transversality in positive characteristic for unicritical polynomials.

研究动机与目标

• 构造所有具有指定临界轨道图的后临界有限单临界与三次双临界多项式。
• 为临界点具有精确预周期轨道（即Misiurewicz点）的参数提供显式代数公式。
• 证明复数域上Misiurewicz轨迹定义方程的横截性。
• 通过参数多项式判别式分析正特征 $p>0$ 下横截性失效的原因。
• 将横截性失效与动力Mordell-Mumford问题及数域中的分歧性联系起来。

提出的方法

• 使用广义动力多項式 $ \Phi^{ ext{ast}}_{f,m,n}(z) $ 筛选出精确周期为 $(m,n)$ 的点，并通过归一化消除重复计数。
• 为单临界映射 $ f_{d,c}(z) = z^d + c $ 定义修正多项式 $ G_d(m,n) $，其根恰好为临界点0具有精确周期 $(m,n)$ 的Misiurewicz参数。
• 对于双临界三次映射 $ g_{a,v}(z) = z^3 - 3a^2z + (2a^3 + v) $，构造多项式 $ T(m,n,z) $，用于筛选使 $ \pm a $ 分别具有精确周期 $ (m_1,n_1) $ 与 $ (m_2,n_2) $ 的参数。
• 在动力多項式定义中使用Möbius函数 $ \mu $，通过容斥原理确保精确周期条件。
• 分析 $ G_d(m,n) $ 的判别式，以检测在正特征下横截性失效的素数 $ p>0 $。
• 运用代数几何与数域理论，将 $ G_d(m,n) $ 的判别式 $ p $-进赋值与该多项式分裂域中的分歧性联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $ f_{d,c}(z) = z^d + c $，临界点 $ 0 $ 具有精确周期 $ (m,n) $ 的参数 $ c $ 的显式代数公式是什么？
• RQ2 如何构造一个多项式，使其根恰好为双临界三次映射 $ g_{a,v}(z) $ 的Misiurewicz参数，且临界点具有指定的轨道图？
• RQ3 在单临界多项式 $ z^d + c $ 的参数空间中，哪些素数 $ p>0 $ 会导致横截性失效？这与Misiurewicz多项式判别式有何关联？
• RQ4 正特征下横截性失效与动力Mordell-Mumford问题之间存在何种联系？
• RQ5 由 $ G_d(m,n) $ 的根生成的数域中的分歧性，如何与该多项式判别式中 $ p $ 的幂次相关联？

主要发现

• 多项式 $ G_d(m,n) $，定义为 $ \Phi^{ ext{ast}}_{f,m,n}(0) $ 或经 $ \Phi^{ ext{ast}}_{f,0,n}(0)^{d-1} $ 归一化后，其根恰好为Misiurewicz参数 $ c $，且所有根均为单根。
• 对于单临界族 $ z^d + c $，Misiurewicz参数为代数整数，如推论3.4所示。
• 精确周期 $ (m,n) $ 的Misiurewicz点数量由 $ G_d(m,n) $ 的次数导出的显式计数公式给出，如推论3.3所述。
• 在特征 $ p>0 $ 下，横截性失效的充要条件是 $ p $ 整除 $ G_d(m,n) $ 的判别式，且此类素数可通过动力系统周期点的重述方式刻画。
• $ G_d(m,n) $ 的判别式 $ p $-进赋值对应于其根生成的数域中 $ p $ 的分歧指数，从而将代数几何与算术动力系统联系起来。
• 对于双临界三次族，当 $ n_1 \neq n_2 $ 或 $ n_1 \nmid (m_1-1) $ 且 $ n_1 \nmid (m_2-1) $ 时，代数簇 $ V(T(m_1,n_1,a), T(m_2,n_2,-a)) $ 恰好参数化使两个临界点 $ \pm a $ 分别具有指定精确周期 $ (m_1,n_1) $ 与 $ (m_2,n_2) $ 的 $ (a,v) $ 值。