[论文解读] Misleading convergence of the skeleton diagrammatic technique: when the correct solution can be found

Aaram J. Kim, Evgeny Kozik|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2022

Advanced Chemical Physics Studies被引用 6

一句话总结

本文表明，通过将发散的图解级数解析延拓至其收敛半径之外，可以克服自洽骨架图解技术（SDT）中的误导性收敛问题。通过修改SDT协议以包含受控的解析延拓，作者在标准SDT失效的区域（包括强关联的二维Hubbard模型和解析可解的(0+0)d Hubbard模型）中恢复了精确解。

ABSTRACT

Convergence of the self-consistent skeleton diagrammatic technique (SDT) -- in which the full Green's function is determined through summation of Feynman diagrams in terms of itself -- to the wrong answer has been associated with the existence of non-perturbative branches of the Luttinger-Ward functional. Although it has been possible to detect misleading convergence without the knowledge of the exact result, the SDT has remained inapplicable in the regimes where this happens. We show that misleading convergence does not always preclude recovering the exact solution. In addition to the established mechanism, convergence of the SDT to the wrong answer can stem from divergence of the inherent diagrammatic series, which allows us to recover the exact solution by a modified SDT protocol based on controlled analytic continuation. We illustrate this approach by its application to the analytically solvable (0+0)d Hubbard model, the Hubbard atom, and the 2d Hubbard model in a challenging strong-coupling regime, for which the SDT is solved with controlled accuracy by the diagrammatic Monte Carlo (DiagMC) technique.

研究动机与目标

• 解决自洽骨架图解技术（SDT）中长期存在的误导性收敛问题，即尽管输入物理正确，方法仍收敛至非物理解。
• 识别并解决误导性收敛的根本原因，表明图解级数的发散（而非Luttinger-Ward泛函的多值性）可能是主要障碍。
• 开发一种基于受控解析延拓的改进SDT协议，即使在标准SDT收敛至错误答案时，也能恢复精确解。
• 在具有挑战性的强耦合区域（包括掺杂的二维Hubbard模型）中，展示改进SDT（mSDT）的可靠性与准确性，这些区域此前缺乏可控基准。
• 建立mSDT解有效性的先验诊断标准，基于自能复平面上的奇点结构。

提出的方法

• 作者提出一种改进的SDT（mSDT），用图解费曼级数的解析延拓替代其部分和，利用复分析技术将级数延拓至收敛半径之外。
• 该方法依赖于识别自能泛函的奇点结构，特别是复ξ平面上奇点ξs的位置，以确定图解级数的收敛半径。
• 关键诊断指标是实轴上存在一个奇点ξs，满足0 < ξs < 1，这表明标准SDT已收敛至虚假解，必须进行解析延拓。
• mSDT协议使用图解蒙特卡罗（DiagMC）技术以受控的数值精度计算系数aₘ[G]，从而实现高精度的自能评估。
• 该方法应用共形映射以改善级数的收敛性，尤其在精确格林函数在实轴负方向存在奇点ξs的情况下。
• 自洽循环被重新定义为使用解析延拓后的级数，确保即使原始级数发散，解仍保持物理意义。

实验结果

研究问题

• RQ1 当误导性收敛并非源于Luttinger-Ward泛函的多值性，而是源于底层图解级数的发散时，能否克服骨架图解技术中的误导性收敛？
• RQ2 在标准SDT因图解级数发散而收敛至非物理解的区域，是否能够恢复精确解？
• RQ3 能否建立先验诊断标准，以判断mSDT解的可靠性，特别是在标准SDT失效的情况下？
• RQ4 改进的SDT协议能否在强关联系统（如强耦合下的掺杂二维Hubbard模型）中实现受控精度，而这些系统此前缺乏其他基准？
• RQ5 自能复ξ平面上的奇点结构如何与标准SDT的失效及mSDT的成功相关联？

主要发现

• mSDT在(0+0)d Hubbard模型和Hubbard原子这两个系统中成功恢复了精确解，而标准SDT因图解级数发散而失效。
• 在U=16的掺杂二维Hubbard模型中，mSDT在强耦合区域产生了受控且可靠的结果，包括在⟨n⟩ ≈ 0.7和T ≈ 0.5t的密度与温度下，而标准SDT表现出误导性收敛。
• mSDT解通过实轴上存在一个奇点ξs（满足0 < ξs < 1）得到验证，该奇点作为解收敛至正确解的先验指标。
• 当mSDT解的ξs在误差范围内与ξs = 0一致时，解被视为不可靠，表明该方法的诊断标准有效。
• 即使精确格林函数在实轴负方向存在奇点ξs，该方法仍保持鲁棒性，因为该奇点可通过共形映射被简单移除，从而避免符号振荡系数导致的发散。
• 在强关联区域，mSDT优于标准SDT，使原本无法通过标准技术访问的物理相（如二维Hubbard模型中的高温超导相）得以探索。