[论文解读] Mixed connectivity of Cartesian graph products and bundles

Rija Erveš, Janez Žerovnik|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2010

Interconnection Networks and Systems参考文献 17被引用 6

一句话总结

本文建立了笛卡尔图丛与积的混合连通性的统一界，证明若纤维图和基图分别为 $(p_F, q_F)$-连通和 $(p_B, q_B)$-连通，则丛图是 $(p_F + p_B, q_F + q_B)$-连通，且当 $q_F, q_B > 0$ 时，也是 $(p_F + p_B + 1, q_F + q_B - 1)$-连通。这些结果将顶点连通性和边连通性推广至混合故障情形，统一了互连网络的容错性分析。

ABSTRACT

Mixed connectivity is a generalization of vertex and edge connectivity. A graph is $(p,0)$-connected, $p>0$, if the graph remains connected after removal of any $p-1$ vertices. A graph is $(p,q)$-connected, $p\geq 0$, $q>0$, if it remains connected after removal of any $p$ vertices and any $q-1$ edges. Cartesian graph bundles are graphs that generalize both covering graphs and Cartesian graph products. It is shown that if graph $F$ is $(p_{F},q_{F})$-connected and graph $B$ is $(p_{B},q_{B})$-connected, then Cartesian graph bundle $G$ with fibre $F$ over the base graph $B$ is $(p_{F}+p_{B},q_{F}+q_{B})$-connected. Furthermore, if $q_{F},q_{B}>0$, then $G$ is also $(p_{F}+p_{B}+1,q_{F}+q_{B}-1)$-connected. Finally, let graphs $G_i, i=1,...,n,$ be $(p_i,q_i)$-connected and let $k$ be the number of graphs with $q_i>0$. The Cartesian graph product $G=G_1\Box G_2\Box ... \Box G_n$ is $(\sum p_i,\sum q_i)$-connected, and, for $ k\geq 1$, it is also $(\sum p_i+k-1,\sum q_i-k+1)$-connected.

研究动机与目标

• 开发一个统一框架，用于分析互连网络在顶点与边故障同时发生时的容错性。
• 将经典的顶点连通性和边连通性推广至混合连通性，以支持对同时具备节点与链路故障容错能力的网络进行分析。
• 建立笛卡尔图丛与积的混合连通性的紧致界，这些结构推广了超立方体、网格和环面等网络。
• 提供一个理论基础，统一证明在混合故障模型下故障直径与连通性的结果。

提出的方法

• 将混合连通性定义为 $(p, q)$-连通性：图在移除最多 $p$ 个顶点和 $q-1$ 条边后仍保持连通。
• 利用笛卡尔图丛的结构，其中基图 $B$ 的每个顶点对应一个纤维图 $F$ 的副本，且边由 $B$ 和 $F$ 的边提升而来。
• 通过分析纤维之间的连通性与基图路径的连通性，证明丛图 $G$ 的混合连通性至少为 $(p_F + p_B, q_F + q_B)$。
• 当 $q_F > 0$ 且 $q_B > 0$ 时，利用路径提升与顶点不相交路径的论证，证明额外的连通性界 $(p_F + p_B + 1, q_F + q_B - 1)$。
• 应用归纳法将结果推广至 $n$ 重笛卡尔积图，推导出积图 $G_1 \Box \cdots \Box G_n$ 的界。
• 使用边加权与顶点加权技术，追踪纤维与基路径中的故障元素，确保在给定故障约束下至少存在一条无故障路径。

实验结果

研究问题

• RQ1 当纤维图和基图分别为 $(p_F, q_F)$-连通和 $(p_B, q_B)$-连通时，笛卡尔图丛的混合连通性是什么？
• RQ2 笛卡尔图丛的连通性能否用其组成部分的混合连通性来界定？
• RQ3 同时存在顶点与边故障时，是否能获得强于仅考虑顶点或边故障的连通性界？
• RQ4 一个 $n$ 重笛卡尔积图的混合连通性如何依赖于各因子图的独立混合连通性？
• RQ5 这些结果能否扩展至包含互连网络中更高阶容错能力的情形？

主要发现

• 若纤维图 $F$ 为 $(p_F, q_F)$-连通，基图 $B$ 为 $(p_B, q_B)$-连通，则笛卡尔图丛 $G$ 为 $(p_F + p_B, q_F + q_B)$-连通。
• 当 $q_F > 0$ 且 $q_B > 0$ 时，丛图 $G$ 也是 $(p_F + p_B + 1, q_F + q_B - 1)$-连通，表明在混合故障下具有更强的鲁棒性。
• 对于 $n$ 重笛卡尔积 $G = G_1 \Box \cdots \Box G_n$，其中每个 $G_i$ 为 $(p_i, q_i)$-连通，则该积图为 $(\sum p_i, \sum q_i)$-连通。
• 若 $n$ 个图中有 $k$ 个满足 $q_i > 0$，则该积图也是 $(\sum p_i + k - 1, \sum q_i - k + 1)$-连通，反映出当更多图参与边故障容错时连通性得到提升。
• 这些结果推广了已知的笛卡尔积与丛图的顶点连通性和边连通性界，统一了它们在单一混合连通性模型下的分析。
• 证明依赖于将路径与边从基图提升至丛图，确保在给定故障约束下，任意两个纤维之间至少存在一条无故障路径。