[论文解读] Mixing and Decoherence in Continuous-Time Quantum Walks on Cycles

Leonid Fedichkin, Dmitry Solenov+1 more|ArXiv.org|Sep 22, 2005

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 11被引用 11

一句话总结

本文通过一种连续监测模型诱导退相干，分析性地证明了在环状图上的连续时间量子行走中，退相干可缩短混合时间。研究揭示了非单调关系：在小退相干率下，混合时间随退相干率线性减少；在最优退相干率下达到最小值；随着退相干增强，混合时间又线性增加并趋近经典极限。

ABSTRACT

We prove analytical results showing that decoherence can be useful for mixing time in a continuous-time quantum walk on finite cycles. This complements the numerical observations by Kendon and Tregenna (Physical Review A 67 (2003), 042315) of a similar phenomenon for discrete-time quantum walks. Our analytical treatment of continuous-time quantum walks includes a continuous monitoring of all vertices that induces the decoherence process. We identify the dynamics of the probability distribution and observe how mixing times undergo the transition from quantum to classical behavior as our decoherence parameter grows from zero to infinity. Our results show that, for small rates of decoherence, the mixing time improves linearly with decoherence, whereas for large rates of decoherence, the mixing time deteriorates linearly towards the classical limit. In the middle region of decoherence rates, our numerical data confirms the existence of a unique optimal rate for which the mixing time is minimized.

研究动机与目标

• 研究退相干对有限环上连续时间量子行走混合时间的影响。
• 为量子行走中的退相干提供分析框架，扩展Kendon与Tregenna的先前数值观察结果。
• 确定随着退相干强度增加，混合动力学从量子行为向经典行为转变的临界点。
• 确定是否存在一个最优退相干率，使混合时间最小化，类似于离散时间行走中的发现。

提出的方法

• 使用Gurvitz的连续监测模型，在环状图的连续时间量子行走中诱导退相干。
• 通过含退相干参数Γ控制监测速率的Lindblad主方程建模退相干过程。
• 利用环状图拉普拉斯矩阵的本征态分解，推导时间演化概率分布的解析表达式。
• 应用总变差距离量化混合时间，将分布与均匀分布进行比较。
• 在低和高退相干区域，利用渐近近似推导混合时间的上下界。
• 对N = 5至35进行数值模拟，以确认存在唯一最优退相干率使混合时间最小化。

实验结果

研究问题

• RQ1 正如在离散时间行走中数值观察到的那样，退相干是否能改善环状图上连续时间量子行走的混合时间？
• RQ2 在不同退相干强度区域，混合时间如何随退相干参数Γ变化？
• RQ3 在环状图的连续时间量子行走中，是否存在一个唯一的最优退相干率，使混合时间最小化？
• RQ4 随着Γ从0增加到∞，系统如何从量子混合行为过渡到经典混合行为？
• RQ5 小和大退相干率下的混合时间是否存在解析边界？

主要发现

• 在小退相干率下（ΓN ≪ 1），混合时间与Γ成反比，随退相干增加而线性改善。
• 在大退相干率下（Γ ≫ 1），混合时间与Γ成线性关系，与N²成二次关系，趋近经典混合时间。
• 大Γ情况下的混合时间下界为 T_lower ≈ (2ΓN²/π²) ln(2/(Nε))，上界为 T_upper ≈ (ΓN²/2) ln((2+ε)/ε)。
• 数值结果确认，在N = 5至35范围内，存在唯一最优退相干率使混合时间最小化。
• 随着Γ增加，混合时间表现出从量子到经典行为的转变，动力学从相干量子振荡转变为经典扩散。
• 分析结果证实，Kendon-Tregenna现象——即小退相干可改善混合——不仅存在于离散时间行走中，也适用于连续时间模型。