[论文解读] Mixing Times of Self-Organizing Lists and Biased Permutations

Prateek Bhakta, Sarah Miracle+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2012

Bayesian Methods and Mixture Models参考文献 14被引用 6

一句话总结

本文证明，在两种新型偏差下，即‘选择你的武器’和‘联赛等级制度’，对排列采样进行最近邻换位的马尔可夫链是快速混合的，其中转移概率依赖于元素值，但始终至少为1/2。此外，本文还推翻了一个长期存在的猜想，表明即使所有偏差均≥1/2，混合时间在一般情况下仍可能需要指数时间。

ABSTRACT

Sampling permutations from S_n is a fundamental problem from probability theory. The nearest neighbor transposition chain \cal{M}}_{nn} is known to converge in time Θ(n^3 \log n) in the uniform case and time Θ(n^2) in the constant bias case, in which we put adjacent elements in order with probability p eq 1/2 and out of order with probability 1-p. Here we consider the variable bias case where we put adjacent elements x

研究动机与目标

• 解决吉姆·菲爾（Jim Fill）关于在自组织链表中变量偏差下最近邻换位链快速混合性的猜想。
• 确定当所有相邻对 $x<y$ 满足 $1/2 \leq p_{x,y} \leq 1$ 时，马尔可夫链 ${\cal{M}}_{nn}$ 是否快速混合，该条件有利于有序配置。
• 研究菲爾所猜想的谱间隙是否在 $p_{x,y} = 1/2$ 时最小化。
• 构造一个反例，表明在正偏差条件下，快速混合性并不普遍成立。
• 将已知的常数偏差和线性扩展采样结果推广至更广泛、更现实的带偏差排列生成模型。

提出的方法

• 引入两类新型偏差：‘选择你的武器’，其中 $p_{x,y} = r_x$（$x < y$），以及‘联赛等级制度’，其具有子组间固定偏差的递归分层结构。
• 使用耦合与路径耦合技术，对这些结构化偏差模型下的 ${\cal{M}}_{nn}$ 混合时间进行上界估计。
• 应用切尔诺夫不等式与总变差距离分析，将混合时间与各子链的混合时间关联起来。
• 构造一个反例，其中对所有 $x<y$ 满足 $1/2 \leq p_{x,y} \leq 1$，但链的混合时间需指数时间，从而推翻一般性猜想。
• 利用 ASEP 和线性扩展的已知结果，对新结果进行比较与语境化分析。
• 通过乘积链与边缘分布分析链的行为，以界定与平稳分布的总变差距离。

实验结果

研究问题

• RQ1 当所有转移概率满足 $p_{x,y} \geq 1/2$ 时，最近邻换位链 ${\cal{M}}_{nn}$ 是否快速混合？
• RQ2 在结构化可变偏差下，如‘选择你的武器’或‘联赛等级制度’，该链是否仍快速混合？
• RQ3 如菲爾所猜想，${\cal{M}}_{nn}$ 的谱间隙是否在所有 $p_{x,y} = 1/2$ 时最小化？
• RQ4 能否构造一个反例，使得对所有 $x<y$ 满足 $1/2 \leq p_{x,y} \leq 1$，但链的混合时间为指数时间？
• RQ5 在常数偏差、线性扩展与一般可变偏差设置下，${\cal{M}}_{nn}$ 的混合时间如何比较？

主要发现

• 在‘选择你的武器’类别中，马尔可夫链 ${\cal{M}}_{nn}$ 是快速混合的，其中 $p_{x,y} = r_x$（$x < y$）且 $r_x \geq 1/2$。
• 在‘联赛等级制度’类别中，链也是快速混合的，该类别建模了具有固定内部与跨联赛偏差的递归分层结构。
• 在正偏差条件下，链并不总是快速混合；本文构造了一个反例，其混合时间为指数级。
• 结果推广了先前的界限：均匀偏差下为 $\Theta(n^3 \log n)$，常数偏差下为 $\Theta(n^2)$，现已被扩展至更广泛的类别。
• 反例表明，菲爾所猜想的单调性条件不足以保证快速混合。
• 分析表明，在结构化可变偏差设置下，$O(n^2)$ 的混合时间是可实现的，优于均匀偏差下的 $O(n^3 \log n)$ 上界。