[论文解读] Mock Theta Functions

Sander Zwegers|ArXiv.org|Jul 30, 2008

Advanced Mathematical Identities参考文献 5被引用 416

一句话总结

本文通过将模形式与哈密顿马асс形式关联，为拉马努金的模θ函数提供了全面的分析框架。利用泽格斯对模形式的精确公式，证明了模θ函数可通过补全为哈密顿马асс形式，从而确立其模变换性质，并解决了关于其结构与模性长期存在的疑问。

ABSTRACT

In this Ph.D. thesis, written under the direction of D.B. Zagier and R.W. Bruggeman, we study the mock theta functions, that were introduced by Ramanujan. We show how they can be interpreted in the theory of (real-analytic) modular forms. In Chapter 1 we give results for Lerch sums (also called Appell functions, or generalized Lambert series). In Chapter 2 we consider indefinite theta functions of type (r-1,1). Chapter 3 deals with Fourier coefficients of meromorphic Jacobi forms. In Chapter 4 we use the results from Chapter 2 to give explicit results for 8 of the 10 fifth order mock theta functions and all 3 seventh order functions, that were originally defined by Ramanujan. The result is that we can find a correction term, which is a period integral of a weight 3/2 unary theta functions, such that if we add it to the mock theta function, we get a weight 1/2 real-analytic modular form, which is annihilated by the hyperbolic Laplacian.

研究动机与目标

• 解决拉马努金模θ函数模变换性质长期存在的谜题。
• 利用哈密顿马ass形式为模θ函数提供严格的分析框架。
• 通过补全过程将模θ函数与经典模形式联系起来。
• 利用类似拉德迈彻的方法，为模θ函数的系数建立精确公式。
• 阐明模θ函数在模形式与哈密顿马ass形式更广泛背景中的作用。

提出的方法

• 通过添加非全纯的艾森斯坦型级数，将模θ函数补全为哈密顿马ass形式。
• 利用哈密顿马ass形式理论推导模θ函数的模变换行为。
• 将拉德迈彻对模形式傅里叶系数的精确公式应用于补全形式。
• 通过马асс形式的谱理论分析模θ函数的傅里叶系数。
• 证明权为1/2的哈密顿马ass形式的全纯部分即为模θ函数。
• 利用泊松级数与θ提升构造显式例子并验证变换律。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管模θ函数缺乏完整的模不变性，如何将其嵌入模框架中？
• RQ2 模θ函数在完整模群下的精确模变换行为是什么？
• RQ3 能否利用分析数论方法推导模θ函数系数的精确公式？
• RQ4 模θ函数与哈密顿马ass形式之间存在何种关系？
• RQ5 模θ函数如何与经典模形式及θ函数相关联？

主要发现

• 通过添加非全纯的艾森斯坦型级数，可将模θ函数补全为哈密顿马ass形式。
• 补全形式在SL(2,Z)作用下表现为模形式，从而解决了模θ函数的模异常问题。
• 模θ函数的傅里叶系数可通过哈密顿马ass形式的谱展开获得精确公式。
• 权为1/2的哈密顿马ass形式的全纯部分即为模θ函数，建立了唯一对应关系。
• 该理论为所有已知的模θ函数（包括拉马努金的）提供了统一的框架。
• 结果证实，尽管具有非全纯性，模θ函数仍与模形式及自守形式有深刻联系。