[论文解读] Modal Dynamics for Non-Orthogonal Decompositions

Jay Gambetta, Howard M. Wiseman|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2003

Quantum Mechanics and Applications被引用 1

一句话总结

该论文将量子力学中的模态动力学推广至非正交分解，通过将投影测量推广到正算子值测度（POMs），包括相干态投影算符等过度完备集。研究表明，对于谐振子系统，使用Husimi POM的模态动力学在大n极限下可重现经典动力学，即使对于非经典数态亦然——这与玻姆力学在该类态下失效形成对比。

ABSTRACT

The modal interpretation of quantum mechanics allows one to keep the standard classical definition of realism intact. That is, things have a definite status for all time and a measurement only tells us which value it had. However, at present modal dynamics are only applicable to situations that are describe in the orthodox theory by projective measures. In this paper we extend modal dynamics to include positive operator measures (POMs). That is, for example, rather than using a complete set of orthogonal projectors, we can use an overcomplete set of nonorthogonal projectors. We derive the conditions under which Bell's stochastic modal dynamics for projectors reduce to deterministic dynamics, showing (incidentally) that Brown and Hiley's generalization of Bohmian mechanics [quant-ph/0005026, (2000)] cannot be thus derived. We then show how {em deterministic} dynamics for positive operators can also be derived under some conditions. As a simple case, we consider a Harmonic oscillator, and the overcomplete set of coherent state projectors (i.e. the Husimi POM). We show that the modal dynamics for this POM correspond to the classical dynamics, even for the nonclassical number state $ket{n}$, in the large $n$ limit. This is in contrast to the Bohmian dynamics (for the position projectors), which vanishes for energy eigenstates.

研究动机与目标

• 将模态动力学从投影测量扩展至正算子值测度（POMs），特别是非正交分解。
• 研究投影算符的随机模态动力学在何种条件下退化为确定性动力学。
• 在特定条件下推导正算子的确定性动力学。
• 分析模态动力学在过度完备集（如相干态投影算符）背景下的行为。
• 将所得动力学与玻姆力学进行比较，尤其关注能量本征态的情形。

提出的方法

• 将随机模态动力学形式化推广至正算子值测度（POMs），而不仅限于投影算符。
• 利用POM元素的结构，推导投影算符的随机动力学退化为确定性动力学的条件。
• 将推广后的动力学应用于谐振子系统，采用过度完备的相干态投影算符集（即Husimi POM）。
• 分析大量子数n极限下动力学的渐近行为。
• 将所得轨迹与经典动力学以及位置投影算符下的玻姆轨迹进行比较。
• 运用模态诠释的框架，为系统属性在所有时刻分配确定值，即使在非正交分解下亦然。

实验结果

研究问题

• RQ1 投影算符的随机模态动力学在何种条件下退化为确定性动力学？
• RQ2 能否在投影算符之外，为正算子一致地推导出确定性动力学？
• RQ3 模态动力学在过度完备、非正交的POMs（如相干态的Husimi POM）下如何表现？
• RQ4 对于谐振子系统，所得动力学是否在大n极限下重现经典轨迹？
• RQ5 该行为与玻姆力学相比如何，尤其在能量本征态情形下？

主要发现

• 仅在特定且严格的条件下，投影算符的随机模态动力学才退化为确定性动力学，而这些条件排除了布朗与黑利对玻姆力学的一般化。
• 在对POM元素施加适当约束的条件下，可为正算子推导出确定性动力学。
• 对于谐振子系统，采用Husimi POM（即相干态投影算符）的模态动力学在大n极限下重现经典动力学。
• 即使对于非经典的数态|n⟩，随着n增大，模态动力学方法仍表现出类经典行为。
• 与玻姆力学在能量本征态下无法产生非零轨迹不同，采用Husimi POM的模态动力学在大n区域保持良好定义且呈现类经典行为。