[论文解读] Model Predictive Control for Trajectory Tracking on Differentiable Manifolds

Guozheng Lu, Wei Xu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2021

Adaptive Control of Nonlinear Systems参考文献 47被引用 10

一句话总结

本文提出了一种通用的模型预测控制（MPC）框架，用于在可微流形上实现轨迹跟踪，通过将流形约束与系统动力学解耦，并采用流形上的规范形式化方法。该方法利用流形特定的操作（$oxplus/oxminus$）沿期望轨迹对系统进行线性化，实现了高效、无奇点的MPC，具有最小参数化和符号化实现的特点，已在$SO(3) imes/mathbb{R}^n$和曲面上的高现实性能无人机（UAV）与地面无人车（UGV）实验中得到验证。

ABSTRACT

We consider the problem of bridging the gap between geometric tracking control theory and implementation of model predictive control (MPC) for robotic systems operating on manifolds. We propose a generic on-manifold MPC formulation based on a canonical representation of the system evolving on manifolds. Then, we present a method that solves the on-manifold MPC formulation by linearizing the system along the trajectory under tracking. There are two main advantages of the proposed scheme. The first is that the linearized system leads to an equivalent error system represented by a set of minimal parameters without any singularity. Secondly, the process of system modeling, error-system derivation, linearization and control has the manifold constraints completely decoupled from the system descriptions, enabling the development of a symbolic MPC framework that naturally encapsulates the manifold constraints. In this framework, users need only to supply system-specific descriptions without dealing with the manifold constraints. We implement this framework and test it on a quadrotor unmanned aerial vehicle (UAV) operating on $SO(3) imes \mathbb{R}^n$ and an unmanned ground vehicle (UGV) moving on a curved surface. Real-world experiments show that the proposed framework and implementation achieve high tracking performance and computational efficiency even in highly aggressive aerobatic quadrotor maneuvers.

研究动机与目标

• 解决机器人系统在非欧几里得流形（如$SO(3)$、$\mathbb{S}^2$和二维曲面）上运动时缺乏通用MPC公式的难题。
• 克服最小参数化方法（如欧拉角）和过度参数化方法（如四元数）带来的奇点或归一化约束等局限性。
• 将流形约束与系统动力学解耦，以实现独立于特定流形的符号化、可重用MPC框架。
• 开发一种沿轨迹的线性化方法，以保持几何结构并避免奇点。
• 在复杂流形上运行的真实机器人系统中，验证该方法在轨迹跟踪精度和计算效率方面的优异表现。

提出的方法

• 通过使用$\boxplus$和$\boxminus$操作将流形约束直接嵌入系统模型，以规范形式在流形上构建MPC。
• 引入一种基于轨迹上每一点切空间的线性化方案，确保误差系统由最少参数描述。
• 利用李群上的伴随表示以及$\text{Exp}$和$\text{Log}$映射推导线性化系统动力学，避免奇点。
• 使用$\boxminus$操作构建误差系统，以在流形上定义实际状态与期望状态之间的差异。
• 将流形描述与系统动力学解耦，使用户仅需输入与系统相关的动力学和约束。
• 以符号化方式实现MPC框架，支持自动生成嵌入流形约束的优化问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不依赖向量空间假设的前提下，为通用可微流形上的轨迹跟踪正式构建MPC？
• RQ2 能否开发一种线性化方法，使其在流形上跟踪轨迹时保持几何结构并避免奇点？
• RQ3 在多大程度上可以将流形约束与系统动力学解耦，以实现可重用的符号化MPC框架？
• RQ4 所提出的流形上MPC在真实机器人系统上的轨迹跟踪精度和计算效率表现如何？
• RQ5 该框架能否在保持稳定性和约束满足的前提下，处理高度非线性和剧烈的机动，如四旋翼特技飞行？

主要发现

• 所提出的MPC框架在四旋翼无人机执行$SO(3)\times\mathbb{R}^n$上的剧烈特技飞行时，实现了极高的轨迹跟踪性能，跟踪误差极小。
• 由于采用最小参数误差系统和解耦的流形约束，该框架表现出优异的计算效率。
• 该线性化方法避免了欧拉角固有的奇点问题，并消除了四元数方法中所需的归一化约束。
• 在无人地面车（UGV）沿曲面导航的实验中，该框架即使在非平面、非欧几里得流形上也能保持精确的轨迹跟踪。
• 符号化MPC框架可自动生成嵌入流形约束的优化问题，显著降低了实现复杂度。
• 该方法在包括$SO(3)$、$\mathbb{S}^2$和二维曲面在内的多个流形上均实现了稳定且精确的控制，真实实验结果已验证其有效性。