[论文解读] Models of Finsler Geometry on Lie algebroids

E. Peyghan|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2013

Advanced Differential Geometry Research参考文献 18被引用 8

一句话总结

本文通过延拓和水平提升，引入了联络、半喷射和曲率概念，构建了李代数胚上芬斯ler几何的综合框架。研究证明，具有保守自同态和相容联络的芬斯勒李代数胚结构，会导出广义伯瓦尔德和瓦格纳李代数胚，其特征为特定的挠率与曲率条件，通过锚映射定义的协变导数和恰当序列，将经典芬斯勒几何推广至李代数胚设定。

ABSTRACT

Horizontal endomorphisms, almost complex structures, vertical, horizontal and complete lifts on prolongation of a Lie algebroid are considered. Then using exact sequences, semisprays are constructed. Moreover, important geometrical objects such as classical distinguished connections, torsions and partial curvatures are studied on prolongation of Lie algebroids. Considering pullback bundle, covariant derivatives are scrutinized based on anchor map. Several Finsler geometry models on Lie algebroid structures, will organized via recent arguments. Finally, it will be overhaulled some special Finsler Lie algebroid spaces.

研究动机与目标

• 通过扩展联络、曲率和半喷射等概念，将芬斯勒几何系统地推广至李代数胚结构。
• 在李代数胚的延拓上定义并研究特殊联络——伯瓦尔德型与亚诺型。
• 利用拉回丛和锚映射，引入并分析 $\rho_{\backslash \text{pounds}}$-协变导数。
• 通过挠率与曲率条件，表征广义伯瓦尔德与瓦格纳李代数胚。
• 统一李代数胚背景下芬斯勒几何对象，如卡坦张量、巴尔特尔自同态与道格拉斯张量。

提出的方法

• 利用李代数胚 $E$ 的延拓 $\pounds^{\pi}E$，通过恰当序列构造半喷射及垂直/水平提升。
• 在 $\pounds^{\pi}E$ 上引入水平自同态与几乎复结构，以定义几何分解。
• 在 $\pounds^{\pi}E$ 上定义特殊联络（伯瓦尔德型、亚诺型），并计算其挠率与曲率张量。
• 利用锚映射在 $\pi^*\pi$ 上构造 $\rho_{\pounds}$-协变导数，推广标准协变导数。
• 应用广义弗罗利彻-尼吉胡斯括号，研究李代数胚上微分算子及其相互关系。
• 利用拉回丛与锚映射诱导的导子，定义保守自同态并分析其几何意义。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过延拓与水平提升，系统地将芬斯勒几何推广至李代数胚结构？
• RQ2 芬斯勒李代数胚成为广义伯瓦尔德李代数胚的必要与充分条件是什么？
• RQ3 在 $\pounds^{\pi}E$ 上，特殊联络的挠率与曲率张量如何与底层李代数胚结构相关联？
• RQ4 $\pi^*\pi$ 上的 $\rho_{\pounds}$-协变导数在何种意义上推广了芬斯勒几何中的经典协变导数？
• RQ5 在喷射与联络的几何条件下，如何表征一个瓦格纳李代数胚？

主要发现

• 若芬斯勒李代数胚具有保守自同态 $h_{\nabla}$，则其为广义伯瓦尔德李代数胚当且仅当联络 $\nabla$ 的弱挠率满足 $t_{\nabla}(\delta_{\mu}, \delta_{\alpha}) = (\rho^{i}_{\mu} \circ \pi) \frac{\partial(f \circ \pi)}{\partial \textbf{x}^{i}} \mathcal{V}_{\alpha} - (\rho^{i}_{\alpha} \circ \pi) \frac{\partial(f \circ \pi)}{\partial \textbf{x}^{i}} \mathcal{V}_{\mu}$。
• 在广义伯瓦尔德李代数胚中，联络 $\nabla$ 的挠率完全源于锚映射与函数 $f$，且巴尔特尔自同态满足 $t^\beta_{\mu\alpha} = 0$。
• 瓦格纳李代数胚的喷射 $S_{\nabla}$ 满足 $S_{\nabla} = S_{\circ} + f^c C - 2\mathcal{F} \text{grad} f^\vee$，表明其与基喷射及函数 $f$ 相关联。
• 在瓦格纳李代数胚中，联络 $\nabla$ 的挠率由 $T_{\nabla}(e_{\mu}, e_{\alpha}) = d^E f(e_{\mu}) e_{\alpha} - d^E f(e_{\alpha}) e_{\mu}$ 给出，显示其对函数 $f$ 的微分的依赖性。
• $\pounds^{\pi}E$ 上存在保守自同态 $h_{\nabla}$ 意味着联络 $\nabla$ 与芬斯勒结构相容，并满足广义伯瓦尔德条件。
• 广义伯瓦尔德李代数胚条件等价于伯瓦尔德自同态的道格拉斯张量为零，从而确保特定的曲率相容性。