[论文解读] Modular Parametrizations of Neumann-Setzer Elliptic Curves

William Stein, Mark E. Watkins|ArXiv.org|Apr 19, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 16被引用 4

一句话总结

该论文通过模形式与Hecke代数的技术，证明了当且仅当 $u \equiv 3 \pmod{8}$ 时，导数为素数 $p = u^2 + 64$ 的Neumann–Setzer椭圆曲线 $E_0$ 的模度为奇数。此外，论文证明了 $E_1$ 是 $X_1(p)$ 的最优商，并确认了Glenn Stevens关于最小Faltings高度的猜想在导数为素数的情形。

ABSTRACT

Suppose $p$ is a prime of the form $u^2+64$ for some integer $u$, which we take to be 3 mod 4. Then there are two Neumann--Setzer elliptic curves $E_0$ and $E_1$ of prime conductor $p$, and both have Mordell--Weil group $\Z/2\Z$. There is a surjective map $X_0(p)\xrightarrowπ E_0$ that does not factor through any other elliptic curve (i.e., $π$ is optimal), where $X_0(p)$ is the modular curve of level $p$. Our main result is that the degree of $π$ is odd if and only if $u \con 3\pmod{8}$. We also prove the prime-conductor case of a conjecture of Glenn Stevens, namely that that if $E$ is an elliptic curve of prime conductor $p$ then the optimal quotient of $X_1(p)$ in the isogeny class of $E$ is the curve with minimal Faltings height. Finally we discuss some conjectures and data about modular degrees and orders of Shafarevich--Tate groups of Neumann--Setzer curves.

研究动机与目标

• 确定导数为素数 $p = u^2 + 64$ 的Neumann–Setzer椭圆曲线 $E_0$ 的模度奇偶性。
• 证明 $E_1$ 是 $X_1(p)$ 的最优商，支持Glenn Stevens关于最小Faltings高度的猜想。
• 研究Neumann–Setzer曲线的Shafarevich–Tate群中 $p$-整除性的分布。
• 为存在无穷多条模度为奇数的椭圆曲线提供证据。

提出的方法

• 使用Hecke代数与模参数化的理论，特别是Eisenstein理想 $\mathfrak{m}$ 在Mordell–Weil群上的作用。
• 应用Mazur关于Eisenstein理想的成果，分析2 torsion结构及模参数化 $\pi: X_0(p) \to E_0$ 的核。
• 依赖于模度 $m$ 满足 $m^2 = \#(B \cap E_0)$ 的事实，其中 $B = \ker(J \to E_0)$，将模度与有限子群的阶联系起来。
• 采用不通过任何其他椭圆曲线的最优参数化 $\pi$，确保模度定义良好且最小。
• 利用Cremona表格中的数据及Watkins（2002）的计算结果，分析模度的 $p$-进赋值。
• 通过比较 $E_1$ 与 $E_0$ 的Faltings高度，证明 $E_1$ 在其同源类中具有最小高度，从而确认了素导数情形下Stevens的猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 当且仅当 $u \equiv 3 \pmod{8}$ 时，导数为素数 $p = u^2 + 64$ 的Neumann–Setzer曲线 $E_0$ 的模度为奇数吗？
• RQ2 $E_1$ 是否为 $X_1(p)$ 的最优商，且在同源类中是否具有最小Faltings高度？
• RQ3 Neumann–Setzer曲线的Shafarevich–Tate群中，整除的素数的分布如何？其与 $u \mod 8$ 的关系如何？
• RQ4 是否存在无穷多条有理数域上模度为奇数的椭圆曲线？
• RQ5 当 $u \equiv 7 \pmod{8}$ 时，Neumann–Setzer曲线的模度的2进赋值行为如何？

主要发现

• 当且仅当 $u \equiv 3 \pmod{8}$ 时，$E_0$ 的模度为奇数，建立了模度奇偶性的精确算术条件。
• $E_1$ 是 $X_1(p)$ 的最优商，且在同源类中具有最小Faltings高度，确认了Stevens猜想在素导数情形下的正确性。
• 在 $N < 8000$ 的 29,755 个 $J_0(N)$ 的最优椭圆曲线商中，仅有 89 个具有奇数模度，表明其稀有性。
• 在 $N \leq 10^7$ 的 52,878 个非Neumann–Setzer素导数曲线中，8% 具有奇数模度，表明Neumann–Setzer曲线更可能具有奇数模度。
• 数据表明，当 $u \equiv 7 \pmod{16}$ 时，模度的2进赋值恰好为1，支持了一个改进的猜想。
• 素数 $\ell$ 整除Neumann–Setzer曲线的Shafarevich–Tate群的频率取决于 $u$ 对 3、5 和 8 的同余条件，其中 $\ell=3$ 在约 36% 的情况下整除 $\Sha$。