[论文解读] Modular representations and branching rules for wreath Hecke algebras

Jinkui Wan, Weiqiang Wang|ArXiv.org|Jun 2, 2008

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 11被引用 5

一句话总结

本文为任意有限群 $G$ 引入了楔积 Hecke 代数 $χ_n(G)$，推广了退化仿射 Hecke 代数，并在特征 $p \geq 0$ 的代数闭域上建立了其模表示理论。关键结果是楔积 Hecke 代数的模类与若干退化仿射 Hecke 代数的乘积之间的等价性，该等价性使得简单模的分类和模分支法则得以实现，并在 $p$ 不整除 $|G|$ 时，将这些分支法则与量子仿射代数的可积模的晶体图联系起来。该构造将对对称群和循环 Hecke 代数的已知结果推广至楔积结构。

ABSTRACT

We introduce a generalization of degenerate affine Hecke algebra, called wreath Hecke algebra, associated to an arbitrary finite group G. The simple modules of the wreath Hecke algebra and of its associated cyclotomic algebras are classified over an algebraically closed field of any characteristic p. The modular branching rules for these algebras are obtained, and when p does not divide the order of G, they are further identified with crystal graphs of integrable modules for quantum affine algebras. The key is to establish an equivalence between a module category of the (cyclotomic) wreath Hecke algebra and its suitable counterpart for the degenerate affine Hecke algebra.

研究动机与目标

• 将退化仿射 Hecke 代数推广至任意有限群 $G$ 关联的楔积 Hecke 代数。
• 在任意特征 $p \geq 0$ 的域上，对这些代数的简单模进行分类并推导其模分支法则。
• 在楔积 Hecke 代数的模类与若干退化仿射 Hecke 代数模类的乘积之间建立范畴等价。
• 当 $p \nmid |G|$ 时，将模分支法则与量子仿射代数可积模的晶体图相联系。
• 通过循环商与 Grothendieck 群实现，将楔积的表示理论系统地推广至模情形。

提出的方法

• 将楔积 Hecke 代数 $\mathcal{H}_n(G)$ 定义为退化仿射 Hecke 代数的推广，具有 Poincaré–Birkhoff–Witt 基，并明确识别其中心。
• 通过全子范畴构造，建立 $\mathcal{H}_n(G)$-模与若干 $\mathcal{H}_{n_k}$-模乘积之间的范畴等价。
• 利用范畴等价性，将 $\mathcal{H}_n(G)$-模的简单模分类问题约化为已知的 $\mathcal{H}_n$ 情形。
• 将循环楔积 Hecke 代数 $\mathcal{H}_n^\lambda(G)$ 定义为有限维商代数，其中 $\mathbb{F}G_n$ 为最小情形。
• 在 $\mathcal{H}_n^\lambda(G)$-模的 Grothendieck 群上构造 $\widehat{\mathfrak{sl}}_p^{\oplus r}$ 的作用，证明其同构于 $L(\lambda[1]) \otimes \cdots \otimes L(\lambda[r])$。
• 通过晶体图结构识别模分支法则，利用 Grothendieck 群上的 Kashiwara 算子 $\tilde{e}_i^\lambda$ 和 $\tilde{f}_i^\lambda$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将退化仿射 Hecke 代数推广至包含任意有限群 $G$ 的楔积结构？
• RQ2 在任意特征 $p \geq 0$ 的域上，楔积 Hecke 代数 $\mathcal{H}_n(G)$ 的简单模具有何种结构？
• RQ3 对于 $\mathcal{H}_n(G)$，其模分支法则如何与量子仿射代数的晶体图相关联？
• RQ4 Grothendieck 群在实现这些代数的量子仿射代数可积表示中起到何种作用？
• RQ5 能否利用此框架在正特征下系统地发展楔积 $G_n = G^n \rtimes S_n$ 的表示理论？

主要发现

• 楔积 Hecke 代数 $\mathcal{H}_n(G)$ 推广了退化仿射 Hecke 代数 $\mathcal{H}_n$，当 $G$ 为平凡群时有 $\mathcal{H}_n(G) \cong \mathcal{H}_n$。
• 建立了 $\mathcal{H}_n(G)$-模类与若干较小退化仿射 Hecke 代数模类乘积之间的范畴等价，从而可约化解分类问题。
• 通过该等价性，有限维简单 $\mathcal{H}_n(G)$-模的分类被约化为已知的 $\mathcal{H}_n$ 情形。
• 当 $p \nmid |G|$ 时，$\mathcal{H}_n(G)$ 的模分支法则同构于可积 $U_q(\widehat{\mathfrak{sl}}_p^{\oplus r})$-模 $L(\lambda[1]) \otimes \cdots \otimes L(\lambda[r])$ 的晶体图。
• Grothendieck 群 $K_G(\lambda)_{\mathbb{C}}$ 赋予一个同构于 $L(\lambda[1]) \otimes \cdots \otimes L(\lambda[r])$ 的简单 $\widehat{\mathfrak{sl}}_p^{\oplus r}$-模，其 Chevalley 生成元作用为 Kashiwara 算子。
• 当 $p = 0$ 时，通过非整数循环商，该框架可扩展至 $\widehat{\mathfrak{sl}}_\infty^{\oplus r}$，并保持晶体图解释不变。