[论文解读] Modular representations of reductive groups and geometry of affine Grassmannians

Daniel Juteau|ArXiv.org|Apr 14, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 11被引用 11

一句话总结

本文通过几何Satake同构，将李代数的分解数解释为仿射Grassmannian上等变 perverse 调和层的截面，从而建立了几何表示论对偶性。它利用特征依赖的分解数证明了奇点的非光滑性与非等价性，并提供了对Mirković与Vilonen关于扭量自由性猜想的反例，将其修正为排除坏素数的情形。

ABSTRACT

By the geometric Satake isomorphism of Mirkovic and Vilonen, decomposition numbers for reductive groups can be interpreted as decomposition numbers for equivariant perverse sheaves on the complex affine Grassmannian of the Langlands dual group. Using a description of the minimal degenerations of the affine Grassmannian obtained by Malkin, Ostrik and Vybornov, we are able to recover geometrically some decomposition numbers for reductive groups. In the other direction, we can use some decomposition numbers for reductive groups to prove geometric results, such as a new proof of non-smoothness results, and a proof that some singularities are not equivalent (a conjecture of Malkin, Ostrik and Vybornov). We also give counterexamples to a conjecture of Mirkovic and Vilonen stating that the stalks of standard perverse sheaves over the integers on the affine Grassmannian are torsion-free, and propose a modified conjecture, excluding bad primes.

研究动机与目标

• 通过几何Satake同构，建立对李代数分解数的几何解释。
• 利用仿射Grassmannian中最小退化现象的已知几何数据，计算模表示理论不变量。
• 通过分析正特征下的分解数，证明几何结果（如非光滑性与奇点非等价性）。
• 证伪Mirković与Vilonen关于Z上perversely sheaf截面扭量自由性的猜想，并提出一个排除坏素数的修正版本。

提出的方法

• 利用李代数G的L-group的仿射Grassmannian上等变perversely sheaves与G表示之间的几何Satake等价性。
• 应用Malkin、Ostrik与Vybornov关于仿射Grassmannian中最小退化现象的结果，将奇点识别为简单奇点或最小奇点。
• 利用几何中的Levi引理，镜像表示论结果，将轨道闭包与权的邻接关系联系起来。
• 通过正特征下交涉同调截面计算Weyl模的分解数，特别关注与主导短根相关的权。
• 应用强关联原理，证明不同素数ℓ下分解数的差异意味着奇点的非等价性。
• 利用特征ℓ下的分解数证明非光滑性：若dλμ ≠ 0 mod ℓ，则最小退化不是Fℓ-光滑，故不是光滑的。

实验结果

研究问题

• RQ1 李代数的分解数能否从仿射Grassmannian的结构中几何地恢复？
• RQ2 Z上仿射Grassmannian的标准perversely sheaf的截面是否如Mirković与Vilonen所猜想的那样扭量自由？
• RQ3 奇点如a_n、ac_n、ag_2与cg_2是否几何等价？这一问题能否通过模表示理论检测？
• RQ4 能否利用模分解数证明仿射Grassmannian中轨道闭包的非光滑性？
• RQ5 坏素数在仿射Grassmannian上交涉同调层扭量行为中起什么作用？

主要发现

• 李代数的分解数（例如dλμ = 1当ℓ整除2n+1，否则为0）可通过仿射Grassmannian中最小退化现象几何地恢复。
• 本文提供了对Mirković–Vilonen猜想关于Zℓ-截面扭量自由性的反例，表明坏素数下扭量可出现。
• 提出一个修正猜想：若ℓ为好素数，则仿射Grassmannian上标准perversely sheaf的截面是扭量自由的。
• 通过证明某些素数ℓ下a_n与ac_n奇点的分解数不同（因n+1与2n+1互质），证明了这些奇点的非等价性。
• 通过正特征下非平凡的分解数，证明轨道闭包的光滑部分恰好是轨道本身。
• 对于Spin_{2n+1}型的准最小奇点ac_n，分解数dλμ为1当ℓ整除2n+1，否则为0，从而证明在Fℓ上非光滑。