[论文解读] Module approximate amenability of Banach algebras

Hasan Pourmahmood-Aghababa, Abasalt Bodaghi|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2013

Advanced Topics in Algebra参考文献 17被引用 10

一句话总结

本文引入并发展了巴拿赫代数在另一巴拿赫代数上模的模近似可约性与模近似可约性的理论。它证明了对于模代数上的交换巴拿赫代数，模近似可约性与模近似可约性是等价的，并且证明了对于一个逆半群 $S$，其半群代数 $\

ABSTRACT

In the present paper, the concepts of module (uniform) approximate amenability and contractibility of Banach algebras that are modules over another Banach algebra, are introduced. The general theory is developed and some hereditary properties are given. In analogy with the Banach algebraic approximate amenability, it is shown that module approximate amenability and contractibility are the same properties. It is also shown that module uniform approximate (contractibility) amenability and module (contractibility, respectively) amenability for commutative Banach modules are equivalent. Applying these results to $\ell^1(S)$ as an $\ell^1(E)$-module, for an inverse semigroup $S$ with the set of idempotents $E$, it is shown that $\ell^1(S)$ is module approximately amenable (contractible) if and only if it is module uniformly approximately amenable if and only if $S$ is amenable. Moreover, $\ell^1(S)^{**}$ is module (uniformly) approximately amenable if and only if a maximal group homomorphic image of $S$ is finite.

研究动机与目标

• 将近似可约性理论扩展到作为另一巴拿赫代数模的巴拿赫代数。
• 定义并研究模（一致、$w^*$-）近似可约性与模（一致）近似可约性。
• 建立交换巴拿赫 $\mathfrak{A}$-双模下模近似可约性与模近似可约性的等价性。
• 通过逆半群 $S$ 的最大群同态像的可约性与有限性，表征 $\ell^1(S)$ 与 $\ell^1(S)^{**}$ 的模近似可约性。

提出的方法

• 在另一巴拿赫代数 $\mathfrak{A}$ 上为双模的巴拿赫代数背景下，定义模导子与模近似导子。
• 利用内导子在强算子拓扑下的闭包，引入模（一致）近似可约性与模（一致）近似可约性的概念。
• 利用逆半群及其幂等元集 $E$ 的结构，分析 $\ell^1(S)$ 作为 $\ell^1(E)$-模的性质。
• 应用模可约性理论中的结果，特别是逆半群的模可约性与可约性等价性。
• 利用模一致近似可约性蕴含交换模的模可约性，反之亦然这一事实。
• 通过对偶性与商技巧，证明 $\ell^1(S)^{**}$ 是模一致近似可约的，当且仅当 $S$ 的最大群同态像是有限的。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，作为另一巴拿赫代数 $\mathfrak{A}$-模的巴拿赫代数 $\mathcal{A}$ 是模近似可约的？
• RQ2 对于交换巴拿赫 $\mathfrak{A}$-双模，模近似可约性与模近似可约性是否等价？
• RQ3 对于具有幂等元集 $E$ 的逆半群 $S$，$\ell^1(S)$ 何时是 $\ell^1(E)$-模近似可约（或可约）的？
• RQ4 $\ell^1(S)^{**}$ 的模一致近似可约性与 $S$ 的结构有何关系？
• RQ5 $\ell^1(S)$ 的模一致近似可约性与 $S$ 的可约性有何关联？

主要发现

• 对于作为另一巴拿赫代数模的交换巴拿赫代数，模近似可约性与模近似可约性是等价的。
• 对于具有幂等元集 $E$ 的逆半群 $S$，$\ell^1(S)$ 是 $\ell^1(E)$-模近似可约（或可约）当且仅当 $S$ 是可约的。
• 其二阶对偶 $\ell^1(S)^{**}$ 是 $\ell^1(E)$-模（一致）近似可约当且仅当 $S$ 的最大群同态像是有限的。
• 对于交换巴拿赫 $\mathfrak{A}$-双模，模一致近似可约性与模可约性一致。
• 模版本的 Ghahramani 和 Loy 的结果成立：$\ell^1(S)$ 是 $\ell^1(E)$-模近似可约当且仅当 $S$ 是可约的。
• $\ell^1(S)$ 的模一致近似可约性等价于 $S$ 的最大群同态像的有限性。