[论文解读] Modules universels de GL(3) sur un corps p-adique en caractéristique p

Rachel Ollivier, Vincent Sécherre|arXiv (Cornell University)|May 15, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 23被引用 9

一句话总结

本文研究了当 $F$ 为残数域大小为 $p$ 的 $p$-进域时，$\mathrm{GL}_3(F)$ 的模 $p$ 通用模的平坦性与投射性。通过在仿射 Bruhat-Tits 建筑上使用同调系数系统，并分析有限群与 $p$-进群上的 Hecke 模结构，作者证明：相对于 Iwahori 子群的通用模在 Iwahori-Hecke 代数上是平坦且投射的，而相对于质 $p$ 的 Iwahori 子群，平坦性成立当且仅当 $p = 2$。该结果解决了 $p$-进群模 $p$ 表示理论中的一个关键结构性问题。

ABSTRACT

Let F be a p-adic field with residue class field k. We investigate the structure of certain mod p universal modules for GL(3,F) over the corresponding Hecke algebras. To this end, we first study the structure of some mod p universal modules for the finite group GL(n,k) as modules over the corresponding Hecke algebras. We then relate this finite case to the p-adic one by using homological coefficient systems on the the affine Bruhat-Tits building of GL(3). Suppose now that k has cardinality p. We prove that the mod p universal module of GL(3,F) relative to the Iwahori subroup is flat and projective over the Iwahori-Hecke algebra. When replacing the Iwahori subgroup of GL(3,F) by its pro-p-radical, we prove that the corresponding module is flat over the pro-p Iwahori-Hecke algebra if and only if p=2.

研究动机与目标

• 确定 $\mathrm{GL}_3(F)$ 在特征 $p$ 下相对于 Iwahori 子群与质 $p$ 的 Iwahori 子群的 Hecke 代数的通用模的平坦性与投射性。
• 通过仿射 Bruhat-Tits 建筑上的同调系数系统，将 $\mathrm{GL}_n(k)$（$k$ 为大小为 $p$ 的有限域）的模 $p$ 通用模的结构与 $p$-进情形联系起来。
• 建立通用模与 Iwahori 子群关联时在相应 Hecke 代数上平坦或投射的条件。
• 阐明残数域大小 $q = p$ 在 $\mathrm{GL}_3(F)$ 的特征 $p$ 表示理论中的作用，特别是当 $p \neq 2$ 时平坦性失效的原因。

提出的方法

• 使用范畴论与同调工具，分析 $\mathrm{GL}_n(k)$ 的模 $p$ 通用模作为有限 Hecke 代数模的结构。
• 在 $\mathrm{GL}_3$ 的仿射 Bruhat-Tits 建筑上构造一个同调系数系统，以连接有限群情形与 $p$-进群情形。
• 应用质 $p$ 的不变量函子，将 $\mathrm{GL}_3(F)$ 上取值于 $\overline{\mathbf{F}}_p$ 的紧支集函数空间赋予 Hecke 模结构，且在 Iwahori 子群下不变。
• 利用 $\mathcal{H}$-模复形 $0 \to \mathrm{Im}\partial_1 \to \mathscr{F}_0(X,\mathcal{C}) \to \mathcal{C} \to 0$ 分析平坦性，依赖诺特环中的单射性与平坦性准则。
• 应用 Bass-Papp 定理与诺特环上投射模的性质，从相关模的平坦性推导出平坦性与投射性。
• 使用幂等投影 $\boldsymbol{\varepsilon}_1$ 将 $\mathcal{C}^\prime$（商模）的研究约化为有限群情形，利用已知的 Hecke 代数模结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 相对于 Iwahori 子群的 $\mathrm{GL}_3(F)$ 通用模在 Iwahori-Hecke 代数上平坦的条件是什么？
• RQ2 相对于质 $p$ 的 Iwahori 子群的通用模在质 $p$ 的 Iwahori-Hecke 代数上是否平坦？若是，对哪些素数 $p$ 成立？
• RQ3 $\mathrm{GL}_3(k)$（$k = \mathbf{F}_p$）的 Hecke 模结构如何与 $\mathrm{GL}_3(F)$（$F$ 为 $p$-进域）的 Hecke 模结构相关联？
• RQ4 通用模 $\mathcal{C}$ 的平坦性与它的子商模（如 $\mathrm{Im}\partial_1$）的平坦性之间的确切关系是什么？
• RQ5 当 $p = 2$ 时，相对于质 $p$ 的 Iwahori 子群的通用模 $\mathcal{C}^\prime$ 是否成为投射模？这对 $\mathrm{GL}_3(F)$ 的表示理论有何意义？

主要发现

• 相对于 Iwahori 子群的 $\mathrm{GL}_3(F)$ 通用模 $\mathcal{C}$ 在 Iwahori-Hecke 代数上是平坦且投射的，这通过 $\mathrm{Im}\partial_1$ 的平坦性与复形 $0 \to \mathrm{Im}\partial_1 \to \mathscr{F}_0(X,\mathcal{C}) \to \mathcal{C} \to 0$ 的正合性得以确立。
• 当 $q = p \neq 2$ 时，$\mathcal{H}$-模 $\mathcal{C}$ 不是平坦的，因为若 $\mathrm{Im}\partial_1$ 平坦，则 $\mathscr{F}_0(X,\mathcal{C})$ 的平坦性将随之成立，这与已知结果矛盾。
• 对于质 $p$ 的 Iwahori-Hecke 代数，通用模 $\mathcal{C}^\prime$ 是平坦的当且仅当 $p = 2$，此结论由该条件下 $\mathcal{C}^\prime$ 的投射性得出。
• $\mathcal{H}^\prime$-模 $\mathcal{C}^\prime$ 在 $q = p$ 时是投射的，特别地，当 $p = 2$ 时，这意味着 $\mathcal{C}$ 在 Iwahori-Hecke 代数上是投射的。
• 当 $\mathcal{C}^{\mathrm{U}_{\sigma_1}}$ 平坦时，$\mathrm{Im}\partial_1$ 是 $\mathscr{F}_0(X,\mathcal{C})$ 的直和项，而此平坦性在 $q = p$ 时成立，从而保证了 $\mathrm{Im}\partial_1$ 的平坦性。
• $\mathcal{H}^\prime$-模 $\mathcal{C}^\prime$ 是 $\mathscr{F}_0(X,\mathcal{C}^\prime)$ 的直和项，且由于 $\mathscr{F}_0(X,\mathcal{C}^\prime)$ 是 $\mathcal{C}^{\prime{\mathrm{U}_{\sigma_0}}}$ 的若干份直和，而 $\mathcal{C}^{\prime{\mathrm{U}_{\sigma_0}}}$ 在 $q = p$ 时是投射的，因此 $\mathcal{C}^\prime$ 是投射的。