[论文解读] Moduli of Continuity of Quasiregular Mappings

Vesna Manojlović|ArXiv.org|Aug 24, 2008

Meromorphic and Entire Functions参考文献 1被引用 5

一句话总结

本博士论文研究了欧氏空间中拟正则映射与调和拟正则映射的模连续性，证明了调和拟正则映射能将边界上的Lipschitz连续性保持到区域内部。一个关键结果表明，在二维情形下，此类映射关于拟双曲度量是双Lipschitz的，从而将几何函数论与拟共形映射的度量性质联系起来。

ABSTRACT

This thesis consists of Chapters 1 and 2. The main results are contained in the two preprints and two published papers, listed below. Chapter 1 deals with conformal invariants in the euclidean space Rn; n >= 2; and their interrelation. In particular, conformally invariant metrics and balls of the respective metric spaces are studied. Another theme in Chapter 1 is the study of quasiconformal maps with identity boundary values in two diferent cases, the unit ball and the whole space minus two points. These results are based on the two preprints: R. Klen, V. Manojlovic and M. Vuorinen: Distortion of two point normalized quasiconformal mappings, arXiv:0808.1219[math.CV], 13 pp., V. Manojlovic and M. Vuorinen: On quasiconformal maps with identity boundary values, arXiv:0807.4418[math.CV], 16 pp. Chapter 2 deals with harmonic quasiregular maps. Topics studied are: Preservation of modulus of continuity, in particular Lipschitz continuity, from the boundary to the interior of domain in case of harmonic quasiregular maps and quasiisometry property of harmonic quasiconformal maps. Chapter 2 is based mainly on the two published papers: M. Arsenovic, V. Kojic and M. Mateljevic: On Lipschitz continuity of harmonic quasiregular maps on the unit ball in Rn., Ann. Acad. Sci. Fenn. Math. 33 (2008), no. 1, 315-318. V. Kojic and M. Pavlovic: Subharmonicity of jfjp for quasiregular harmonic functions, with applications, J. Math. Anal. Appl. 342 (2008) 742-746

研究动机与目标

• 使用诸如λ和μ度量等共形不变度量，分析拟正则映射的连续性模。
• 研究单位球与R^n去掉两点情形下具有恒等边界值的拟共形映射的行为。
• 研究调和拟正则映射，并确定边界上的Lipschitz连续性是否能延拓到区域内部。
• 在拟双曲度量下建立调和拟正则映射的拟等距性质，尤其关注二维情形。
• 探讨在更高维度（n ≥ 3）下，拟双曲度量下的双Lipschitz性质是否仍成立。

提出的方法

• 利用Grötzsch与Teichmüller的极值问题，定义度量λ_G(x,y)^(1−n)与μ_G(x,y)，并证明其在R^n中的区域上构成度量。
• 应用曲线族与模M(Γ)的理论，分析极值环形区域，推导出共形不变度量。
• 在二维情形下，利用拟正则映射的表示f(z) = g(z) + h̄(z)，其中g与h解析，研究雅可比行列式J_f及其对数次调和性。
• 使用量α_f(z) = exp(1/n ∫_{B_z} log J_f dm)将雅可比行列式与拟共形畸变联系起来，借助调和与次调和函数理论。
• 应用广义Koebe–Ahlfors–Beurling不等式，以到边界距离为基准，对α_f(z)给出上下界估计。
• 根据d(f(z), ∂D′)/d(z, ∂D)推导||f′(z)||的逐点估计，从而实现拟双曲度量下的双Lipschitz控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，调和拟正则映射能将边界到区域内部的连续性模保持不变？
• RQ2 在维度n ≥ 3时，调和拟正则映射在拟双曲度量下的双Lipschitz性质是否成立？
• RQ3 度量λ_G与μ_G在R^n中如何与其他共形不变度量关联？
• RQ4 在R^n \ {0}与单位球中，具有恒等边界值的拟共形映射表现出何种行为？
• RQ5 逐点估计||f′(z)|| ≍ d(f(z), ∂D′)/d(z, ∂D)是否能在更高维度中成立，且常数仅依赖于K与n？

主要发现

• 在二维情形下，调和拟正则映射的边界连续性模在内部被保持，这意味着∂D上的Lipschitz连续性蕴含D̄上的Lipschitz连续性。
• 在二维情形下，任意调和拟正则映射f关于拟双曲度量是双Lipschitz的，即k_{D′}(f(z₁), f(z₂)) ≍ k_D(z₁, z₂)。
• 在二维情形下，调和拟正则映射满足逐点估计||f′(z)|| ≍ d(f(z), ∂D′)/d(z, ∂D)，其中隐含常数仅依赖于畸变常数K。
• 雅可比行列式的对数log(1/J_f)是次调和的，这使得可以利用平均值不等式推导α_f(z)的下界，从而得出关键估计√J_f(z) ≥ α_f(z)。
• 量α_f(z)满足双侧估计α_f(z) ≍ d(f(z), ∂D′)/d(z, ∂D)，这蕴含了拟双曲度量下的双Lipschitz控制。
• 结果在更高维度中仅以猜想形式成立，开放问题为：定理2.4.1是否对n ≥ 3成立？