[论文解读] Moduli of curves with nonspecial divisors and relative moduli of $A_\infty$-structures

Alexander Polishchuk|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用 4

一句话总结

该论文建立了亏格 $g$ 的曲线模堆栈（带有 $n \geq g$ 个标记点和非特殊、充分大除子，配备切向量）与 Grassmannian $G(n-g,n)$ 上的 $A_\infty$-结构相对模堆栈之间的同构，表明在温和的特征条件下，前者是 $G(n-g,n)$ 上的仿射概形。关键结果通过 Krichever 映射与形变理论，将曲线模堆栈与 $A_\infty$-形变联系起来。

ABSTRACT

In this paper for each $n\ge g\ge 0$ we consider the moduli stack $\widetilde{\mathcal U}^{ns}_{g,n}$ of curves $(C,p_1,\ldots,p_n,v_1,\ldots,v_n)$ of arithmetic genus $g$ with $n$ smooth marked points $p_i$ and nonzero tangent vectors $v_i$ at them, such that the divisor $p_1+\ldots+p_n$ is nonspecial (has no $h^1$) and ample. With some mild restrictions on the characteristic we show that it is a scheme, affine over the Grassmannian $G(n-g,n)$. We also construct an isomorphism of $\widetilde{\mathcal U}^{ns}_{g,n}$ with a certain relative moduli of $A_\infty$-structures (up to an equivalence) over a family of graded associative algebras parametrized by $G(n-g,n)$.

研究动机与目标

• 将 $A_\infty$-结构对应关系从 $n = g$ 推广到 $n \geq g$ 个标记点的曲线与非特殊、充分大除子的情形。
• 在指定特征条件下，证明带有切向量的曲线模堆栈 $\widetilde{\mathcal{U}}^{ns}_{g,n}$ 是 $G(n-g,n)$ 上的概形，且仿射。
• 通过 Krichever 映射与形变理论，构造 $\widetilde{\mathcal{U}}^{ns}_{g,n}$ 与 $G(n-g,n)$ 上 $A_\infty$-结构相对模堆栈之间的同构。

提出的方法

• 将 $\widetilde{\mathcal{U}}^{ns}_{g,n}$ 定义为亏格 $g$ 的曲线的模堆栈，带有 $n$ 个标记点和非零切向量，使得除子 $p_1 + \cdots + p_n$ 为非特殊且充分大。
• 通过将每个曲线的映射 $H^0(C, \mathcal{O}_C(D)/\mathcal{O}_C) \to H^1(C, \mathcal{O}_C)$ 的核（利用切向量进行平凡化）定义一个态射 $\pi: \widetilde{\mathcal{U}}^{ns}_{g,n} \to G(n-g,n)$。
• 利用 Krichever 映射将 $\widetilde{\mathcal{U}}^{ns}_{g,n}$ 识别为商 $ASG^{ns}/{\mathfrak{G}}$，其中 $ASG^{ns}$ 是 Sato Grassmannian 的一个子集，$\mathfrak{G}$ 是形式变量变换群。
• 通过形变理论与切空间分析，证明 $G(n-g,n)$ 上 $A_\infty$-结构的相对模堆栈（通过 $G = \mathcal{O}_C \oplus \bigoplus \mathcal{O}_{p_i}$ 的 Ext-代数 $\operatorname{Ext}^*(G,G)$ 定义）与 $\widetilde{\mathcal{U}}^{ns}_{g,n}$ 同构。
• 证明态射 $\pi$ 是有限型的仿射态射，且 $A_\infty$-结构的形变函子是光滑的，并与曲线模堆栈的形变函子同构，利用完备化与局部同构准则。
• 根据 $g$、$n$ 和特征限制，在 $\operatorname{Spec}(\mathbb{Z}[1/2])$、$\operatorname{Spec}(\mathbb{Z}[1/6])$ 或 $\operatorname{Spec}(\mathbb{Z})$ 上建立同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $n \geq g$ 个标记点且除子为非特殊、充分大的条件下，曲线模堆栈 $\widetilde{\mathcal{U}}^{ns}_{g,n}$ 是否为概形，且是否为 Grassmannian $G(n-g,n)$ 上的仿射概形？
• RQ2 能否通过 Krichever 映射与形变理论，将此类曲线的模堆栈与 $G(n-g,n)$ 上的 $A_\infty$-结构相对模堆栈识别为同构？
• RQ3 形式变量变换群 $\mathfrak{G}$ 在 Sato Grassmannian $ASG^{ns}$ 上的作用是否自由，且商是否在 $\operatorname{Spec}(\mathbb{Q})$ 上同构于 $\widetilde{\mathcal{U}}^{ns}_{g,n}$？
• RQ4 在何种特征条件下，态射 $\pi: \widetilde{\mathcal{U}}^{ns}_{g,n} \to G(n-g,n)$ 是有限型的仿射态射，且相对 $A_\infty$-模堆栈同构于曲线模堆栈？
• RQ5 在 $\operatorname{Spec}(\mathbb{Z})$ 上，$\widetilde{\mathcal{U}}^{ns}_{g,n}$ 与相对 $A_\infty$-模堆栈之间的同构是否可推广至 $n \geq g+2$？

主要发现

• 在 $n \geq g \geq 1$，$n \geq 2$，且基为 $\operatorname{Spec}(\mathbb{Z}[1/2])$ 的条件下，或 $n = g = 1$ 且基为 $\operatorname{Spec}(\mathbb{Z}[1/6])$，或 $g = 0$，$n \geq 2$ 且基为 $\operatorname{Spec}(\mathbb{Z})$ 的条件下，模堆栈 $\widetilde{\mathcal{U}}^{ns}_{g,n}$ 同构于 $G(n-g,n)$ 上的有限型仿射概形。
• 在 $\operatorname{Spec}(\mathbb{Q})$ 上，Krichever 映射诱导同构 $\widetilde{\mathcal{U}}^{ns}_{g,n} \simeq ASG^{ns}/{\mathfrak{G}}$，其中 $ASG^{ns}$ 是 Sato Grassmannian 的开子集，参数化满足特定维数与横截性条件的子代数。
• 态射 $\pi: \widetilde{\mathcal{U}}^{ns}_{g,n} \to G(n-g,n)$ 是有限型的仿射态射，且其在每个标准开胞腔 $U_S \subset G(n-g,n)$ 上的纤维对应于模概形 $\widetilde{\mathcal{U}}_{g,n}({\bf a}_S)$，其中 $|S| = g$，且 $\mathbf{a}_S$ 在 $S$ 中的位置为 1。
• 通过 $G = \mathcal{O}_C \oplus \bigoplus \mathcal{O}_{p_i}$ 的 Ext-代数 $\operatorname{Ext}^*(G,G)$ 定义的 $G(n-g,n)$ 上 $A_\infty$-结构的相对模堆栈，与 $\widetilde{\mathcal{U}}^{ns}_{g,n}$ 同构，且同构与 ${\mathbb{G}}_m^n$-作用相容。
• 在 $A_\infty$-结构上的形变函子是光滑的，且与曲线模堆栈的形变函子同构，态射 $\operatorname{Def}(C_W) \to \widetilde{\operatorname{Def}}(E_W)$ 是 étale 的，因此是同构，这意味着相对模堆栈是形式光滑的。
• 对于 $n \geq g+2$，基于形变理论与完备化论证，预期在 $\operatorname{Spec}(\mathbb{Z})$ 上，$\pi^{-1}(U)$ 与 $U \subset G(n-g,n)$ 上的相对 $A_\infty$-模堆栈之间的同构成立（$U$ 为坐标超平面的补集）。