[论文解读] Moduli of polarised manifolds via canonical Kähler metrics

Ruadhaí Dervan, Philipp Naumann|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2018

Geometry and complex manifolds参考文献 44被引用 11

一句话总结

本文使用分析方法构建了极化流形的Hausdorff模空间，该流形允许存在常数量曲率Kähler（cscK）度量，绕过了传统的GIT稳定性。通过将cscK度量作为分析稳定性条件，并在Kuranishi空间上应用Heinzner-Loose的GIT商理论，作者建立了一个行为良好的模空间，该模空间自然携带一个Weil-Petersson型Kähler度量，从而解决了具有连续自同构群的流形模理论中的关键问题。

ABSTRACT

We construct a moduli space of polarised manifolds which admit a constant scalar curvature Kähler metric. We show that this space admits a natural Kähler metric.

研究动机与目标

• 构建一个行为良好的极化流形模空间，该流形允许存在常数量曲率Kähler（cscK）度量，特别是在自同构群为连续的情形下，传统GIT方法失效时。
• 为模空间构造提供一种分析替代方案，替代K-稳定性与GIT，以cscK度量的存在性作为稳定性条件。
• 建立模空间的Hausdorff性与分离性，证明其满足强分析性类比的赋值准则。
• 证明模空间自然地携带一个Weil-Petersson型Kähler度量，从而赋予其丰富的几何结构。
• 通过Hodge度量与Grauert嵌入定理，证明模空间的每个紧致复子空间均为射影的。

提出的方法

• 使用Kuranishi空间来参数化固定cscK流形的局部形变，从而实现局部模空间的构造。
• 应用Brönnle-Székelyhidi形变理论，将cscK度量与形变空间上的局部GIT条件联系起来。
• 采用Heinzner-Loose的复空间GIT商理论，将局部模空间构造为Kuranishi空间的商。
• 利用cscK度量在自同构下的唯一性以及Inoue关于自同构群的结果，分析稳定子与轨道。
• 通过Chen-Sun关于cscK退化唯一性的成果，对局部模空间进行粘合，以确保全局Hausdorff性。
• 通过Deligne配对与CM线丛度量，利用纤维积分与相对Mabuchi泛函，构造模空间上的Weil-Petersson型Kähler度量。

实验结果

研究问题

• RQ1 当自同构群为连续时，能否在cscK度量存在的前提下，构造出极化流形的模空间，从而克服GIT在此类情形下的失效？
• RQ2 cscK度量的存在性是否满足分离性赋值准则的强分析类比？
• RQ3 能否在cscK极化流形的模空间上自然地定义一个Kähler度量？
• RQ4 若存在Hodge度量，模空间的每个紧致复子空间是否为射影的？
• RQ5 如何通过粘合局部商空间实现模空间的全局构造？cscK退化的唯一性在此过程中起什么作用？

主要发现

• 存在一个Hausdorff复空间，作为允许cscK度量的极化流形的模空间，其点对应于此类流形的同构类。
• 模空间满足强分析类比的赋值准则：若两个族在一点之外一致，且中心纤维为分析半稳定，则它们必须退化为同一个cscK流形。
• 模空间自然地携带一个Weil-Petersson型Kähler度量η，该度量通过CM线丛与Deligne配对构造，且η是模空间上的正(1,1)-当前。
• Weil-Petersson度量在整个模空间上全局定义良好且连续，其势函数在重叠区域上一致，这是由于cscK纤维上相对Mabuchi泛函的消失。
• 模空间的每个紧致复子空间均为射影的，因为Weil-Petersson度量在该子空间上的限制是Hodge度量，且Grauert嵌入定理适用。
• 该构造得到的模空间既是分离的，又是Kähler的，从而为cscK极化流形在分析设定下的模问题提供了完整解。