[论文解读] Moduli spaces of local systems and higher Teichmuller theory

V. V. Fock, A. B. Goncharov|ArXiv.org|Nov 10, 2003

Advanced Algebra and Geometry参考文献 30被引用 14

一句话总结

本文引入了到具有平凡中心的分裂半单实李群中的曲面基本群的正表示，构造了显式、忠实、离散且正的双曲表示。它建立了两个对偶的高阶Teichmüller空间——${\cal X}^+_{G,S}$ 和 ${\cal A}^+_{G,S}$——配备在映射类群作用下不变的正图册，其过渡函数为无减法形式，从而可在任意正半域上实现，包括实点和热带点，后者恢复了经典和层化的Teichmüller结构。

ABSTRACT

Let G be a split semisimple algebraic group with trivial center. Let S be a compact oriented surface, with or without boundary. We define {\it positive} representations of the fundamental group of S to G(R), construct explicitly all positive representations, and prove that they are faithful, discrete, and positive hyperbolic; the moduli space of positive representations is a topologically trivial open domain in the space of all representations. When S have holes, we defined two moduli spaces closely related to the moduli spaces of G-local systems on S. We show that they carry a lot of interesting structures. In particular we define a distinguished collection of coordinate systems, equivariant under the action of the mapping class group of S. We prove that their transition functions are subtraction free. Thus we have positive structures on these moduli spaces. Therefore we can take their points with values in any positive semifield. Their positive real points provide the two higher Teichmuller spaces related to G and S, while the points with values in the tropical semifields provide the lamination spaces. We define the motivic avatar of the Weil-Petersson form for one of these spaces. It is related to the motivic dilogarithm.

研究动机与目标

• 定义并构造紧致有向曲面 $S$ 的基本群到 $G(\mathbf{R})$ 的正表示，其中 $G$ 是具有平凡中心的分裂半单实李群。
• 证明此类正表示的模空间 ${\cal L}^+_{G,S}$ 是一个拓扑平凡的区域，其维数为 $-\chi(S)\cdot\dim G$。
• 定义两个对偶的模空间 ${\cal X}^+_{G,S}$ 和 ${\cal A}^+_{G,S}$，它们推广了 $G = PGL_2$ 时的经典Teichmüller空间，并赋予其在映射类群作用下不变的正结构。
• 证明这些模空间上坐标图册之间的过渡函数为无减法有理函数，从而可在任意正半域上定义点，包括实点与热带点。
• 在 ${\cal X}_{G,S}$ 上构造Weil-Petersson形式的动机版本，其与动机对数函数相关，并猜想 ${\cal X}$ 与 ${\cal A}$ 空间之间存在Langlands对偶性。

提出的方法

• 通过半单李群中的完全正性，利用与 $G$ 相关旗流形中的旗的正配置来定义正表示。
• 在模空间 ${\cal X}^+_{G,S}$ 和 ${\cal A}^+_{G,S}$ 上构造显式坐标系，其在曲面 $S$ 的映射类群作用下是等变的。
• 证明这些坐标系之间的过渡函数为无减法有理函数，从而在模空间上确立正结构。
• 使用映射 $g_\bullet$ 将旗的配置关联到Grassmannian复形中的元素，并定义复形之间的态射以关联到 $K_2$-类。
• 在 ${\cal A}_{G,S}$ 上定义一个退化的2-形式 $\Omega$，它源自其函数域的 $K_2$-群中的类，并将其与动机对数函数联系起来。
• 构造一个典范投影 $\pi^+ : {\cal X}^+_{G,S} \to {\cal L}^+_{G,S}$ 和一个截面 $s: {\cal L}^+_{G,S} \hookrightarrow {\cal X}^+_{G,S}$，其中 $\pi^+$ 是一个次数为 $|W|^n$ 的分支覆盖，$W$ 是 $G$ 的Weyl群。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为具有平凡中心的分裂半单实李群 $G$ 的曲面基本群 $\pi_1(S)$ 定义并构造到 $G(\mathbf{R})$ 的正表示？
• RQ2 此类正表示的模空间 ${\cal L}^+_{G,S}$ 的几何与拓扑性质是什么？
• RQ3 对偶模空间 ${\cal X}^+_{G,S}$ 与 ${\cal A}^+_{G,S}$ 如何推广经典Teichmüller空间？它们携带何种结构？
• RQ4 映射类群在这些模空间的几何中起什么作用？坐标系在该群作用下的变换方式如何？
• RQ5 能否建立 ${\cal X}$ 与 ${\cal A}$ 空间之间的对偶性？该对偶性是否与Langlands对偶性相关？

主要发现

• 正表示的模空间 ${\cal L}^+_{G,S}$ 是一个拓扑平凡的开区域，其维数为 $-\chi(S)\cdot\dim G$，且每个正表示均为忠实、离散的，并将非边界共轭类映射为正双曲元素。
• 当 $G = PGL_2$ 时，空间 ${\cal L}^+_{G,S}$ 恢复了曲面 $S$ 的经典Teichmüller空间。
• 对偶空间 ${\cal X}^+_{G,S}$ 与 ${\cal A}^+_{G,S}$ 是具有正图册的有理曲面，其在映射类群作用下等变，且其过渡函数为无减法有理函数。
• ${\cal X}^+_{G,S}$ 与 ${\cal A}^+_{G,S}$ 的实点给出 $G$ 与 $S$ 的高阶Teichmüller空间，而其热带点则提供对偶的层空间，推广了 $G = PGL_2$ 时Thurston的层结构。
• ${\cal X}_{G,S}$ 携带一个典范的泊松结构，而 ${\cal A}_{G,S}$ 携带一个源自其函数域的 $K_2$-群中类的退化2-形式 $\Omega$。
• 在 ${\cal X}_{G,S}$ 上构造了Weil-Petersson形式的动机版本，其与动机对数函数相关，本文猜想 ${\cal X}$ 与 ${\cal A}$ 之间存在Langlands对偶性，且一个空间的函数环中存在一个由另一空间的积分热带点参数化的典范基。