[论文解读] Moment convergence in renewal theory

A Iksanov, A Alexander Marynych+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 20, 2012

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 7被引用 1

一句话总结

该论文在更新过程的更新时间分布属于稳定分布吸引域（稳定指数 α ∈ (1, 2]）时，建立了绝对矩的几乎必然收敛。证明了归一化更新计数过程的一阶绝对矩收敛于极限稳定分布的对应矩，将先前的分布收敛结果推广至矩收敛。该结果进一步推广至子序过程。

ABSTRACT

Let ¿1, ¿2, . . . be independent copies of a positive random variable ¿, and let Sk := ¿ 1 + . . . + ¿ k, k ¿ N0. Define N(t) := #{k ¿ N0 : Sk= t}. (N(t))t=0 is a renewal counting process. It is known that if ¿ is in the domain of attraction of a stable law of index a ¿ (1, 2], then N(t), suitably shifted and scaled, converges in distribution as t ¿ 8 to a random variable with a stable law. We show that in this situation, also the first absolute moments converge to the first absolute moment of the limiting random variable. Further, the corresponding result for subordinators is established.

研究动机与目标

• 将更新理论中已知的分布极限定理推广至绝对矩收敛。
• 研究归一化更新过程的一阶绝对矩是否收敛于极限稳定分布的对应矩。
• 将更新过程的矩收敛结果推广至子序过程。
• 通过建立一阶绝对矩收敛，提供强于弱收敛的收敛形式。

提出的方法

• 分析更新计数过程 N(t) = #{k ∈ ℕ₀ : Sk ≤ t}，其中 Sk 是 k 个独立同分布的正随机变量之和。
• 考虑更新时间 ξ 属于稳定分布吸引域且稳定指数 α ∈ (1, 2] 的情形。
• 对 N(t) 进行归一化和中心化处理，使其在分布上收敛于稳定分布。
• 利用吸引域性质与正规变体理论，建立一阶绝对矩的收敛性。
• 通过具有有限变差路径的类似随机过程，将结果推广至子序过程。

实验结果

研究问题

• RQ1 当更新时间 ξ 属于稳定分布吸引域且稳定指数 α ∈ (1, 2] 时，归一化更新过程的一阶绝对矩是否收敛于极限稳定分布的一阶绝对矩？
• RQ2 更新理论中的分布收敛能否强化为绝对矩收敛？
• RQ3 在稳定分布吸引域的背景下，何种条件可保证矩收敛成立？
• RQ4 该矩收敛结果是否可推广至广义更新过程的子序过程？

主要发现

• 当更新时间属于稳定分布吸引域且稳定指数 α ∈ (1, 2] 时，归一化更新过程的一阶绝对矩收敛于极限稳定分布的一阶绝对矩。
• 在相同的吸引域条件下，经典更新定理中的分布收敛被强化为一阶绝对矩收敛。
• 该结果对子序过程也成立，将矩收敛结果从标准更新过程推广至更广范畴。
• 证明依赖于正规变体与吸引域的性质，确保在此设定下，矩收敛可由分布收敛推出。