[论文解读] Moments Calculation For the Doubly Truncated Multivariate Normal Density

B.G. Manjunath, Stefan Wilhelm|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2012

Statistical Distribution Estimation and Applications参考文献 16被引用 28

一句话总结

本论文采用矩 generating 函数方法，推导出在任意矩形双截断下多元正态分布的截断均值和方差的显式公式。主要贡献在于获得了矩的闭式解以及截断后精度矩阵中的不变性性质，该方法已通过 R 语言实现，可应用于统计建模与图模型。

ABSTRACT

In the present article we derive an explicit expression for the trun- cated mean and variance for the multivariate normal distribution with ar- bitrary rectangular double truncation. We use the moment generating ap- proach of Tallis (1961) and extend it to general μ, Σ and all combinations of truncation. As part of the solution we also give a formula for the bivari- ate marginal density of truncated multinormal variates. We also prove an invariance property of some elements of the inverse covariance after trunca- tion. Computer algorithms for computing the truncated mean, variance and the bivariate marginal probabilities for doubly truncated multivariate normal variates have been written in R and are presented along with three examples.

研究动机与目标

• 推导多元正态分布在任意矩形双截断下的一阶与二阶矩的一般解。
• 将 TALLIS (1961) 的矩生成函数方法扩展至处理具有完整双截断的一般均值向量与协方差矩阵。
• 提供截断多元正态变量的二元边际密度的公式。
• 证明在截断后，非截断变量的精度矩阵元素具有不变性。
• 在 R 中实现计算算法，用于计算截断矩与边际概率，支持在金融与图模型中的应用。

提出的方法

• 将 TALLIS (1961) 的矩生成函数方法适配于一般双截断情形，推导出截断均值与方差的显式表达式。
• 利用分块矩阵求逆与 JOHNSON-KOTZ 公式，表达截断协方差矩阵与精度矩阵。
• 作为解决方案框架的一部分，推导出截断多元正态变量的二元边际密度函数。
• 证明对于非截断变量，精度矩阵的非对角元素在截断后保持不变。
• 在 R 中实现数值算法，用于计算截断矩、边际概率与精度矩阵元素。
• 通过三个说明性例子验证结果，包括 WHITTAKER (1990) 提出的蝴蝶图模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 在任意矩形双截断下，多元正态分布的一阶与二阶矩是否存在闭式表达式？
• RQ2 如何显式推导出双截断多元正态变量的二元边际密度？
• RQ3 在双截断后，精度矩阵的哪些元素保持不变？在何种条件下成立？
• RQ4 如何将矩生成函数方法扩展至处理具有完整双截断的一般均值向量与协方差矩阵？
• RQ5 该不变性性质对在选择后估计图模型中偏相关系数的计算影响如何？

主要发现

• 推导出在任意矩形双截断下，多元正态分布的截断均值与方差的显式闭式表达式。
• 作为解决方案的一部分，推导出截断多元正态变量的二元边际密度，从而支持联合概率的计算。
• 证明了一个不变性性质：对于非截断变量，精度矩阵的非对角元素在截断后保持不变。
• 截断变量的精度矩阵对角元素被更新，反映了由于选择导致的部分方差的变化。
• R 包 `tmvtnorm` 实现了所推导的公式，支持高效计算截断矩与边际概率。
• 该方法支持在金融建模（如自动敲出期权）与图模型中的应用，尤其适用于条件独立结构的分析。