[论文解读] Monochromatic triangle-tilings in dense graphs without large independent sets

Xinmin Hou, Xiangyang Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2026

Limits and Structures in Graph Theory被引用 0

一句话总结

论文证明了在 α(G)=o(n) 的 2 边着色 n 顶点图中，弱单色三角形铺设的最小度阈值在渐近最优性；当 1/2 n ≤ δ(G) ≤ 3/5 n 时，规模至少为 2δ(G)−n−o(n)，当 δ(G) > 3/5 n 时，至少为 δ(G)/3−o(n)。

ABSTRACT

Given two graphs $H$ and $G$, an $H$-tiling is a family of vertex-disjoint copies of $H$ in $G$. A perfect $H$-tiling covers all vertices of $G$. The Corradi-Hajnal theorem (1963) states that an $n$-vertex graph $G$ with minimum degree $δ(G)\ge 2n/3$ contains a perfect triangle-tiling. For an $n$-vertex graph $G$ with independence number $α(G)=o(n)$, Balogh, Molla and Sharifzadeh (Random Structures & Algorithms, 2016) showed that a minimum degree of $(\frac12+o(1))n$ forces a perfect triangle-tiling. In a 2-edge-colored graph, Balogh, Freschi, Treglown (European J. Combin. 2026) determined the (asymptotic) minimum degree threshold for forcing a strong or weak monochromatic triangle-tiling covering a prescribed proportion of the vertices: a strong tiling requires all triangles to be in the same color class, while a weak tiling only requires each triangle to be monochromatic. In this paper, we combine the conditions from these two lines of work and prove that every $2$-edge-colored $n$-vertex graph $G$ with $α(G)=o(n)$ contains a weak monochromatic triangle-tiling $Γ$ of size \[ |Γ|\ge \begin{cases} 2δ(G)-n-o(n), & ext{if }\frac12 n\le δ(G)\le \frac35 n,\\[2mm] δ(G)/3-o(n), & ext{if }δ(G)>\frac35 n. \end{cases} \] Both bounds are asymptotically optimal. We use the degree form regularity lemma in our proof.

研究动机与目标

• 为边着色图中的铺设和单色结构引入 Dirac 型问题的动机。
• 确定最小度条件以在 α(G)=o(n) 下强制出现大规模的弱单色 K3-铺设。
• 展示界限在渐近意义上是最优的，并给出构造以说明紧性。

提出的方法

• 使用度形式正则性引理对图进行分解。
• 利用简化图将密度条件转移到更简单的结构。
• 在简化图上利用 F2（两三角形共享一个顶点）铺设论证。
• 发展并应用关键引理（引理 2.6 及 4.1–4.2），以获得大规模的单色铺设。
• 将来自简化图的铺设与局部铺设论证相结合以获得最终界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 α(G)=o(n) 的条件下，哪些最小度 δ(G) 可以保证在 2 边着色的 G 中出现大的弱单色 K3-铺设？
• RQ2 所得界限在 2δ(G)−n−o(n)（当 1/2 n ≤ δ(G) ≤ 3/5 n）和 δ(G)/3−o(n)（当 δ(G) > 3/5 n）是否渐近最优？
• RQ3 正则性引理基于的技术如何与独立性数约束相互作用，以在密集场景下给出单色铺设的紧性结果？

主要发现

• 对于 α(G)=o(n)，任何 δ(G) ∈ [n/2, 3n/5] 的 2 边着色 n 顶点图都包含尺寸至少为 2δ(G)−n−o(n) 的弱单色 K3-铺设。
• 对于 δ(G)>3n/5，以上图包含尺寸至少为 δ(G)/3−o(n) 的弱单色 K3-铺设。
• 在给定的独立性数条件下，两个下界都是渐近最优的。
• 将密度条件与独立性约束结合，扩展了关于三角因子和单色铺设的先前工作。
• 通过对特定的 2 边着色配置给出构造性 remark，显示至 o(n) 项的紧性。