[论文解读] Monotone Linear Relations: Maximality and Fitzpatrick Functions

Heinz H. Bauschke, Xianfu Wang+1 more|ArXiv.org|May 28, 2008

Optimization and Variational Analysis参考文献 23被引用 47

一句话总结

本文使用Fitzpatrick函数作为核心工具，研究一致凸Banach空间中的极大单调线性关系。它建立了极大单调性的判据，通过Fitzpatrick族刻画了斜线性关系，并证明了具有凸图的极大单调算子必为仿射算子——解决了Simons提出的问题。

ABSTRACT

We analyze and characterize maximal monotonicity of linear relations (set-valued operators with linear graphs). An important tool in our study are Fitzpatrick functions. The results obtained partially extend work on linear and at most single-valued operators by Phelps and Simons and by Bauschke, Borwein and Wang. Furthermore, a description of skew linear relations in terms of the Fitzpatrick family is obtained. We also answer one of Simons problems by showing that if a maximal monotone operator has a convex graph, then this graph must actually be affine.

研究动机与目标

• 将极大单调性理论推广至线性关系（图具有线性的多值算子），推广单值算子的已有结果。
• 研究线性关系及其伴随算子的定义域、值域和核之间的关系。
• 通过Fitzpatrick族的结构刻画斜线性关系。
• 通过证明具有凸图的极大单调算子必为仿射算子，解决Stephen Simons提出的问题。
• 使用Fitzpatrick函数建立单调线性关系极大性的新判据，推广Phelps、Simons及其他人的先前结果。

提出的方法

• 使用Fitzpatrick函数作为关键分析工具，研究线性关系的单调性与极大性。
• 应用Fenchel共轭与对偶理论分析Fitzpatrick族及其共轭，特别是 $ F_A^{* op} $。
• 利用恒等式 $ F_A = \bigwedge_{F \to \text{Fitzpatrick族}} F $ 和 $ F_A^{* op} = \bigvee_{F \to \text{Fitzpatrick族}} F $，将族中的最小与最大函数联系起来。
• 利用 $ A $ 是极大单调的充要条件为 $ F_A = F_A^{* op} $，并据此推导极大性条件。
• 在 $ X \times X^* $ 中应用对偶性与正交关系，特别是 $ (\operatorname{gra}A)^\perp $，以关联 $ A $ 与 $ A^* $。
• 利用 $ \mathcal{F}_A = \{ \iota_{\operatorname{gra}A} \} $ 的刻画，通过Fitzpatrick族完全描述斜线性关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，单调线性关系是极大单调的？
• RQ2 线性关系及其伴随算子的定义域、值域和核之间有何关系？
• RQ3 何时极大单调线性关系的Fitzpatrick族为单元素集？
• RQ4 如何通过Fitzpatrick函数刻画斜线性关系？
• RQ5 具有凸图的极大单调算子是否必为仿射算子？

主要发现

• 具有凸图的极大单调算子必为仿射算子，解决了Simons提出的问题。
• 对于极大单调线性关系 $ A $，$ A $ 为斜的当且仅当 $ \operatorname{dom}A = \operatorname{dom}A^* $ 且Fitzpatrick族 $ \mathcal{F}_A $ 为单元素集。
• 当 $ A $ 为斜时，Fitzpatrick族仅包含一个函数：$ \mathcal{F}_A = \{ \iota_{\operatorname{gra}A} \} $，且 $ F_A = F_A^{* op} = \iota_{\operatorname{gra}A} $。
• 最小与最大Fitzpatrick函数满足 $ F_A(x,x^*) = \min_{F \in \mathcal{F}_A} F(x,x^*) $ 与 $ F_A^{* op}(x,x^*) = \max_{F \in \mathcal{F}_A} F(x,x^*) $。
• 若 $ A $ 为极大单调且 $ \mathcal{F}_A $ 为单元素集，则 $ A $ 为斜且 $ A = -A^* $，这意味着对所有 $ x \in \operatorname{dom}A $，有 $ \langle x, Ax \rangle = 0 $。
• 极大单调线性关系 $ A $ 的伴随算子 $ A^* $ 满足：若 $ \operatorname{gra}A $ 闭，则 $ A^{**} = A $，且 $ \overline{\operatorname{dom}A} = (A^*0)^\perp $。