[论文解读] Monotonicity of Pairs of Operators and Generalized Inertial Proximal Method

Ba Khiet Le, Zakaria Mazgouri+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2026

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一句话总结

论文提出了一种建立在扭曲解 resolvent 的广义惯性拟合点算法（GIPPA），在算符对的单调性下分析其收敛性（弱、强和线性），并给出数值示例。

ABSTRACT

Monotonicity of pairs of operators is an extension of monotonicity of operators, which plays an important role in solving non-monotone inclusions. One of challenging problems in this new tool is how to design the associated mappings to obtain the monotone pairs. In this paper, we solve this problem and propose a Generalized Inertial Proximal Point Algorithm (GIPPA) using warped resolvents under the monotonicity of pairs. The weak, strong and linear convergence of the algorithm under some mild assumptions are established. We also provide numerical examples illustrating the implementability and effectiveness of the proposed method.

研究动机与目标

• 将单调性概念扩展到算符对，以处理非单调包含问题。
• 开发利用扭曲解 resolvent 的广义惯性拟合点算法（GIPPA）。
• 在温和假设下建立弱、强与线性收敛性。
• 提供相关映射的构造，以在实践中确保算符对的单调性。
• 通过数值实验证明可行性和有效性。

提出的方法

• 定义并利用扭曲解 resolvent J_{F}^{v} 通过单调对 (F,v) 求解包含问题。
• 构造相关映射 v 以确保 (F,v) 单调，包括二次规划和对角分解技术。
• 提出带惯性项和扭曲解 resolvent 步长的广义惯性拟合点算法（GIPPA）。
• 在对 F、v 和 gamma_n 的假设下，通过一系列引理和定理分析收敛性。
• 在不同的单调性与正则性条件下证明弱、强与线性收敛。
• 将 GIPPA 与 GPPA 及 PPA 作为特例联系起来并讨论对非单调包含问题的影响。

(a) For $\gamma_{n}=0.1+\frac{0.3}{n+10}$ and various $\alpha_{n}$

实验结果

研究问题

• RQ1 如何构造核映射 v 以使给定算符对 (F,v) 单调？
• RQ2 在什么条件下扭曲解 resolvent 能为非单调包含问题产生良定义的迭代？
• RQ3 在单调对下，GIPPA 能得到怎样的收敛保证（弱、强、线性）？
• RQ4 在使用扭曲解 resolvent 时惯性项如何影响收敛？
• RQ5 提出的构造如何应用于具体场景，如二次规划和拟牛顿型方法？

主要发现

• 为给定 F 构造伴随映射 v 的框架，使 (F,v) 单调，从而实现可处理的迭代。
• 扭曲解 resolvent 提供一个统一工具，连接经典的 Resolvent、D-resolvent 与非单调包含分析。
• 广义惯性拟合点算法（GIPPA）在温和条件下可以实现弱收敛、强收敛，且可能实现线性收敛。
• 对于拟牛顿型方法，局部强单调性被确立，从而实现局部线性收敛。
• 当惯性参数为零时 GIPPA 简化为 GPPA，当核为单位矩阵时简化为 PPA，体现了其灵活性与广义性。
• 数值实验表明 GIPPA 相较于 GPPA 的可实现性和有效性。

(b) For $\alpha_{n}=\min\{0.3,\frac{n}{n+10}\}$ and various $\gamma_{n}$