[论文解读] More results on the distance (signless) Laplacian eigenvalues of graphs

Jie Xue, Huiqiu Lin+2 more|arXiv (Cornell University)|May 21, 2017

Graph theory and applications参考文献 8被引用 9

一句话总结

该论文建立了连通图距离拉普拉斯谱半径的新的下界，以团数 ω 表示，证明了 ∂₁ᴸ(G) ≥ n + ⌈n/ω⌉。进一步刻画了在给定 n 和 ω 条件下使距离谱半径最大的唯一极值图，并证实了 Aouchiche 和 Hansen 关于单圈图距离不分次拉普拉斯谱半径的猜想，表明在 n ≥ 6 个顶点的所有单圈图中，图 Ki_{n,3} 实现了最大值。

ABSTRACT

Let $G$ be a connected graph with vertex set $V(G)$ and edge set $E(G)$. Let $Tr(G)$ be the diagonal matrix of vertex transmissions of $G$ and $D(G)$ be the distance matrix of $G$. The distance Laplacian matrix of $G$ is defined as $\mathcal{L}(G)=Tr(G)-D(G)$. The distance signless Laplacian matrix of $G$ is defined as $\mathcal{Q}(G)=Tr(G)+D(G)$. In this paper, we give a lower bound on the distance Laplacian spectral radius in terms of $D_1$, as a consequence, we show that $\partial_1^L(G)\geq n+\lceil\frac{n}ω ceil$ where $ω$ is the clique number of $G$. Furthermore, we give some graft transformations, by using them, we characterize the extremal graph attains the maximum distance spectral radius in terms of $n$ and $ω$. Moreover, we also give bounds on the distance signless Laplacian eigenvalues of $G$, and give a confirmation on a conjecture due to Aouchiche and Hansen.

研究动机与目标

• 建立以团数 ω(G) 表示的距离拉普拉斯谱半径 ∂₁ᴸ(G) 的新下界，证明 ∂₁ᴸ(G) ≥ n + ⌈n/ω⌉。
• 刻画在给定 n 和 ω 的所有连通图中使距离谱半径最大的唯一图。
• 确认 Aouchiche 和 Hansen 关于单圈图中使距离不分次拉普拉斯谱半径最大的极值图的猜想。
• 开发保持或增加距离不分次拉普拉斯谱半径的嫁接变换，以实现极值图的刻画。
• 提供距离不分次拉普拉斯特征值的紧致界，并分析其极值结构。

提出的方法

• 引入距离拉普拉斯矩阵 L(G) = Tr(G) - D(G) 和距离不分次拉普拉斯矩阵 Q(G) = Tr(G) + D(G)，其中 Tr(G) 是顶点传输的对角矩阵。
• 应用谱图论技术，包括瑞利商和特征向量分析，推导 ∂₁ᴸ(G) 和 ∂₁Q(G) 的界。
• 采用嫁接变换——通过添加或删除边以增加谱半径的操作——来比较和排序图，如 Ki_{n,3} 和 T*。
• 使用显式计算和不等式分析（例如平方项之和）比较单圈图的 ∂₁Q(G) 值，特别是 Ki_{n,3} 和 U^{4}_{n₁,n₂}。
• 利用关于 Wiener 指数 W(G) 和传输和的已知结果，通过关系式 ∂₁Q(G) ≥ 4W(G)/n 推导 ∂₁Q(G) 的下界。
• 基于单圈图中圈的长度 k 进行分类讨论，区分 k=3、k=4 和 k≥5 的情况，以证明 Ki_{n,3} 的极值性。

实验结果

研究问题

• RQ1 距离拉普拉斯谱半径 ∂₁ᴸ(G) 关于团数 ω(G) 的最佳可能下界是什么？
• RQ2 在具有 n 个顶点和团数 ω 的所有连通图中，哪一图使距离谱半径最大？
• RQ3 对于 n ≥ 6，Ki_{n,3} 是否是唯一使距离不分次拉普拉斯谱半径 ∂₁Q(G) 最大的单圈图？
• RQ4 嫁接变换如何影响距离不分次拉普拉斯谱半径？它们能否用于识别极值图？
• RQ5 能否通过谱方法和结构方法确认 Aouchiche 和 Hansen 关于 ∂₁Q(G) 的极值单圈图的猜想？

主要发现

• 论文证明了对于任意具有团数 ω 的连通图 G，其距离拉普拉斯谱半径满足 ∂₁ᴸ(G) ≥ n + ⌈n/ω⌉。
• 证明了在给定 n 和 ω 条件下使距离谱半径最大的极值图为图 K_ω^{n−ω}，该图由 clique K_ω 通过一条边与路径 P_{n−ω} 连接而成。
• 对于 n ≥ 6 个顶点的单圈图，距离不分次拉普拉斯谱半径 ∂₁Q(G) 唯一由 Ki_{n,3} 实现最大值，证实了 Aouchiche 和 Hansen 的猜想。
• 显式计算表明，对所有 n ≥ 14，有 ∂₁Q(Ki_{n,3}) > ∂₁Q(T*)，且数值验证确认了在 7 ≤ n ≤ 13 时该不等式成立。
• 论文证明了对所有 n ≥ 7，有 ∂₁Q(U⁴_{n₁,n₂}) < ∂₁Q(U³_{n₁,n₂})，表明在圈中具有度为 3 的顶点的图比具有两个相邻高阶点的图具有更大的谱半径。
• 通过 Wiener 指数和不等式 ∂₁Q(G) ≥ 4W(G)/n，证明了对所有 n ≥ 7，有 ∂₁Q(C_n) < ∂₁Q(Ki_{n,3})，从而严格确立了 Ki_{n,3} 在谱半径上的主导性。