[论文解读] Morse-Smale systems and horseshoes for three dimensional singular flows

Shaobo Gan, Dawei Yang|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2013

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 19被引用 16

一句话总结

本文证明了每一个三维 $C^1$ 向量场都可以被 $C^1$ 逼近为 Morse-Smale 系统或具有 Smale 马蹄的系统，从而解决了向量场的三维 Palis 猜想的类比问题。证明利用截面 Poincaré 映射和同宿交叉的分析，表明若无法进行 Morse-Smale 逼近，则必然存在横截同宿轨道，从而导致马蹄动力系统。

ABSTRACT

We prove that for every three-dimensional vector field, either it can be accumulated by Morse-Smale ones, or it can be accumulated by ones with a transverse homoclinic intersection of some hyperbolic periodic orbit in the $C^1$ topology.

研究动机与目标

• 为解决向量场的三维 Palis 猜想类比问题，该猜想认为每个系统都可以被 Morse-Smale 系统或具有马蹄的系统逼近。
• 解决三维流中奇点导致无法直接应用微分同胚理论中技术的挑战。
• 表明若一个三维向量场无法被 Morse-Smale 系统逼近，则其必然存在横截同宿交叉，从而暗示马蹄动力系统。
• 建立 Morse-Smale 向量场与具有非平凡双曲基本集（马蹄）的向量场的集合在三维流的 $C^1$ 拓扑下是稠密的。

提出的方法

• 使用截面 Poincaré 映射将三维流的动力系统简化为在曲面上研究微分同胚，从而能够分析双曲结构。
• 应用横截同宿交叉的理论，利用 Poincaré 和 Smale 的结果：此类交叉意味着马蹄动力系统。
• 通过弱 Kupka-Smale 条件构造扰动，以保持或产生额外的同宿轨道，确保在小的 $C^1$ 扰动下具有鲁棒性。
• 分析奇异点附近不稳定流形的行为，特别是区分不稳定流形的右、左分离子，并研究其与局部截面的交点。
• 基于同宿轨道数量的最大性使用反证法，表明横截同宿轨道的存在意味着马蹄结构的出现。
• 以修改形式使用中心模型技术分析包含奇异点的传递集，借鉴 Crovisier 在微分同胚研究中的方法。

实验结果

研究问题

• RQ1 每一个三维 $C^1$ 向量场是否都可以被 $C^1$ 逼近为 Morse-Smale 系统或具有 Smale 马蹄的系统？
• RQ2 当一个三维向量场无法被 Morse-Smale 系统逼近时，其是否必然表现出复杂动力系统行为？
• RQ3 三维流中的奇点如何阻碍直接应用基于微分同胚的技术（如 Crovisier 的中心模型方法）？
• RQ4 在三维流中，横截同宿交叉的存在在何种条件下意味着马蹄结构的出现？
• RQ5 是否可以通过 $C^1$ 扰动增加奇异点的同宿轨道数量，这又对链递归集的结构意味着什么？

主要发现

• 每一个三维 $C^1$ 向量场都可以被 $C^1$ 逼近为 Morse-Smale 系统或具有 Smale 马蹄的系统，证实了 Palis 猜想的三维版本。
• 若一个三维向量场无法被 Morse-Smale 系统逼近，则其必然存在一个双曲周期轨道的横截同宿交叉，从而暗示马蹄结构的存在。
• 由于奇点的存在，三维奇异流的传递集动力系统与微分同胚的情形有本质不同，这使得标准的跟踪引理无法适用。
• 证明表明，若无法进行 Morse-Smale 逼近，则至少存在一个横截同宿轨道；通过扰动，可构造出具有超过 $n$ 个同宿轨道的系统，从而与最大性矛盾，进而暗示马蹄结构的存在。
• 对奇异点附近不稳定流形的分离子（右、左）的分析表明，返回映射下保持或反转方向的行为可导致混合或非混合动力系统，二者均支持马蹄结构的存在。
• 该结果表明，Morse-Smale 向量场与具有非平凡双曲基本集的向量场的并集在紧致三维流形上的 $C^1$ 向量场空间中是稠密的。