[论文解读] Mortar-based entropy-stable discontinuous Galerkin methods on non-conforming quadrilateral and hexahedral meshes

Jesse Chan, Mario J. Bencomo+1 more|arXiv (Cornell University)|May 7, 2020

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 38被引用 6

一句话总结

本论文提出了一种基于mortar方法的熵稳定不连续伽辽金方法，适用于非一致的四边形和六面体网格，采用高斯配点。通过在界面处引入面局部校正项，该方法在保持高阶精度和熵稳定性的同时，降低了通量计算的开销，其有效性通过二维和三维数值实验得到验证。

ABSTRACT

High-order entropy-stable discontinuous Galerkin (DG) methods for nonlinear conservation laws reproduce a discrete entropy inequality by combining entropy conservative finite volume fluxes with summation-by-parts (SBP) discretization matrices. In the DG context, on tensor product (quadrilateral and hexahedral) elements, SBP matrices are typically constructed by collocating at Lobatto quadrature points. Recent work has extended the construction of entropy-stable DG schemes to collocation at more accurate Gauss quadrature points. In this work, we extend entropy-stable Gauss collocation schemes to non-conforming meshes. Entropy-stable DG schemes require computing entropy conservative numerical fluxes between volume and surface quadrature nodes. On conforming tensor product meshes where volume and surface nodes are aligned, flux evaluations are required only between "lines" of nodes. However, on non-conforming meshes, volume and surface nodes are no longer aligned, resulting in a larger number of flux evaluations. We reduce this expense by introducing an entropy-stable mortar-based treatment of non-conforming interfaces via a face-local correction term, and provide necessary conditions for high-order accuracy. Numerical experiments in both two and three dimensions confirm the stability and accuracy of this approach.

研究动机与目标

• 解决在体积和表面积分节点错位的非一致网格上，熵稳定通量计算开销过高的问题。
• 将先前仅限于一致网格的熵稳定高斯配点格式，扩展至非一致的四边形和六面体单元。
• 提出一种基于mortar方法的格式，通过引入面局部校正项，减少非一致界面处的通量计算次数。
• 通过推导mortar算子所需的必要条件，确保在曲面非一致网格上保持高阶精度和熵稳定性。
• 在二维和三维数值实验中，展示方法的计算效率和鲁棒性，尤其在三维六面体网格中表现优异。

提出的方法

• 使用混合求和-分部（SBP）算子，统一处理一致张量积单元上Lobatto和高斯配点格式的处理。
• 引入基于mortar的界面处理方法，通过施加面局部校正项来强制实现非一致界面处的连续性，从而减少通量计算。
• 构建降次算子，将高阶多项式投影到低阶空间以计算几何项，同时保持精度。
• 采用两种方法计算几何项：一种使用全阶插值，另一种使用降次几何势，后者放宽了SBP条件。
• 通过结合熵守恒数值通量与SBP算子，并借助数值积分验证离散熵不等式，确保熵稳定性。
• 在曲面网格上实现该方法，通过在节点点应用全局映射变换，几何项通过叉积公式计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将基于高斯配点的熵稳定不连续伽辽金格式扩展至非一致的四边形和六面体网格？
• RQ2 在非一致界面处直接计算通量的计算开销是多少，如何降低该开销？
• RQ3 mortar算子需满足何种条件，才能在非一致网格上保持高阶精度和熵稳定性？
• RQ4 不同几何项计算方法（方法1与方法2）对精度和稳定性有何影响？
• RQ5 所提出的基于mortar的方法在二维和三维曲面网格配置下的收敛行为和鲁棒性如何？

主要发现

• 基于mortar的格式通过引入面局部校正项，显著降低了非一致界面处的通量计算次数，从而大幅减少计算开销。
• 几何项的 $L^2$ 误差达到 $O(h^{N+2})$ 的收敛率，与先前关于单纯形单元的理论预期一致。
• 方法1（全阶插值）的 $L^2$ 误差略低于方法2（降次几何势），但两者收敛率几乎相同。
• 在三维六面体网格中，基于mortar的方法比现有熵稳定格式（包括使用Lobatto配点的格式）更具计算效率。
• 数值实验验证了该格式在曲面非一致网格上二维和三维配置下的稳定性和高阶精度。
• 由于mortar算子和通量校正的精心构造，该方法即使在体积节点与表面节点未对齐的情况下，仍能保持熵稳定性和高阶精度。