[论文解读] Motion of a circular cylinder and n point vortices in a perfect fluid

А. В. Борисов, И. С. Мамаев+1 more|ArXiv.org|Feb 14, 2005

Fluid Dynamics Simulations and Interactions参考文献 4被引用 37

一句话总结

本文建立了刚性圆形圆柱体与理想流体中n个点涡相互作用的哈密顿结构，证明了一体涡情况下系统的可积性，并通过对称性约化和庞加莱截面分析了两体涡系统中的混沌动力学。该系统被证明是非退化的哈密顿系统，具有复杂的泊松括号结构；数值证据通过庞加莱截面上的随机行为证实了两体涡情况下系统的非可积性。

ABSTRACT

The paper studies the system of a rigid body interacting dynamically with point vortices in a perfect fluid. For arbitrary value of vortex strengths and circulation around the cylinder the system is shown to be Hamiltonian (the corresponding Poisson bracket structure is rather complicated). We also reduced the number of degrees of freedom of the system by two using the reduction by symmetry technique and performed a thorough qualitative analysis of the integrable system of a cylinder interacting with one vortex.

研究动机与目标

• 建立刚性圆形圆柱体与理想流体中n个点涡相互作用的哈密顿形式化。
• 利用对称性约化技术减少系统的自由度。
• 对可积的一体涡情况开展详细的定性分析。
• 通过数值方法（如庞加莱截面）研究两体涡系统中的混沌动力学。
• 确定约化后两体涡系统中是否存在额外的首次积分。

提出的方法

• 在固定参考系中通过动量平衡和速度势分解推导运动方程。
• 为相空间变量构造显式分量{ζi, ζj}的非退化泊松括号结构。
• 证明泊松括号的雅可比恒等式，确认系统的哈密顿性质。
• 通过角动量等守恒量消除旋转对称性，应用对称性约化。
• 利用庞加莱截面图对两体涡系统进行数值分析，以检测混沌行为。
• 利用总能量H和约化积分F等不变积分，约束低维流形上的动力学。

实验结果

研究问题

• RQ1 在任意涡强和环量条件下，刚性圆形圆柱体与n个点涡在理想流体中的系统是否为哈密顿系统？
• RQ2 能否通过约化对称性减少系统的自由度？约化后系统的结构如何？
• RQ3 一涡系统是否可积？其相空间的定性特征是什么？
• RQ4 两涡系统是否除能量和约化积分F外还存在额外的首次积分？
• RQ5 两涡系统中是否存在混沌动力学的证据？其如何通过数值方法揭示？

主要发现

• 圆形圆柱体与n个点涡在理想流体中的系统对任意涡强和环量均为哈密顿系统，且显式构造了非退化的泊松括号结构。
• 一涡系统是可积的，相图显示闭合的周期轨道，并在移动参考系中呈现匀速运动。
• 在非紧致情形（λ = 0）下，涡旋作周期运动，而圆柱体在移动参考系中作匀速平动。
• 对于两涡系统，约化后在三维流形上的动力学表现出混沌行为，庞加莱截面图显示随机层结构。
• 数值结果表明两涡系统中不存在额外的首次积分，暗示一般情况下系统不可积。
• 系统无吸引子，与哈密顿动力学一致，但存在由随机层分隔的不变KAM环面。