[论文解读] Motivic Chern classes of Schubert cells, Hecke algebras, and applications to Casselman's problem

Paolo Aluffi, Leonardo C. Mihalcea+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2019

Advanced Algebra and Geometry参考文献 49被引用 22

一句话总结

本文通过hecke代数中的demazure-lusztig算子，在旗流形的k-理论中计算了schubert胞腔的motivic chern类，建立了从一点出发的递归构造。证明了这些类与okounkov及其合作者定义的k-理论稳定包等价，并利用此结果解决了bump、nakasuji和naruse关于标准基与casselman基之间过渡系数的因子分解和全纯性两个猜想。

ABSTRACT

Motivic Chern classes are elements in the K-theory of an algebraic variety $X$, depending on an extra parameter $y$. They are determined by functoriality and a normalization property for smooth $X$. In this paper we calculate the motivic Chern classes of Schubert cells in the (equivariant) K-theory of flag manifolds $G/B$. We show that the motivic class of a Schubert cell is determined recursively by the Demazure-Lusztig operators in the Hecke algebra of the Weyl group of $G$, starting from the class of a point. The resulting classes are conjectured to satisfy a positivity property. We use the recursions to give a new proof that they are equivalent to certain K-theoretic stable envelopes recently defined by Okounkov and collaborators, thus recovering results of Fehér, Rimányi and Weber. The Hecke algebra action on the K-theory of the Langlands dual flag manifold matches the Hecke action on the Iwahori invariants of the principal series representation associated to an unramified character for a group over a nonarchimedean local field. This gives a correspondence identifying the duals of the motivic Chern classes to the standard basis in the Iwahori invariants, and the fixed point basis to Casselman's basis. We apply this correspondence to prove two conjectures of Bump, Nakasuji and Naruse concerning factorizations and holomorphy properties of the coefficients in the transition matrix between the standard and the Casselman's basis.

研究动机与目标

• 计算旗流形g/b的等变k-理论中schubert胞腔的motivic chern类。
• 利用hecke代数中的demazure-lusztig算子建立这些类的递归公式。
• 证明schubert胞腔的motivic chern类与okounkov及其合作者定义的k-理论稳定包等价。
• 将langlands对偶旗流形上的hecke代数作用与非阿基米德局部域的p-进诱导表示的iwahori不变量之间的对应关系应用于解决关于casselman基的猜想。
• 验证标准基与casselman基之间过渡系数在iwahori不变量中的因子分解与全纯性性质。

提出的方法

• 通过hecke代数中demazure-lusztig算子对点的k-理论类的作用，递归计算schubert胞腔的motivic chern类。
• 证明该递归构造生成的类与okounkov及其合作者最近定义的k-理论稳定包相同。
• 将langlands对偶旗流形k-理论上的hecke代数作用与非阿基米德局部域的p-进诱导表示的iwahori不变量作用相匹配。
• 在motivic chern类的对偶与iwahori不变量中的标准基之间，以及不动点类与casselman基之间建立对偶关系。
• 利用该对应关系，证明标准基与casselman基之间过渡矩阵的系数是全纯的，并可分解为有理函数的乘积。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过hecke代数作用计算g/b中schubert胞腔的motivic chern类？
• RQ2 schubert胞腔的motivic chern类是否与k-理论稳定包等价？
• RQ3 hecke代数在langlands对偶旗流形上的作用与p-进诱导表示的iwahori不变量之间的确切对应关系是什么？
• RQ4 标准基与casselman基之间过渡矩阵的系数是否满足因子分解与全纯性性质？
• RQ5 motivic chern类与iwahori不变量之间的对偶关系能否用于解决这些系数的开放猜想？

主要发现

• schubert胞腔的motivic chern类由hecke代数中的demazure-lusztig算子递归确定，起点为点的类。
• 证明所得的motivic chern类与okounkov及其合作者定义的k-理论稳定包等价。
• hecke代数在langlands对偶旗流形k-理论上的作用与非分歧特征标下p-进诱导表示的iwahori不变量作用相匹配。
• motivic chern类的对偶对应于iwahori不变量中的标准基，而不动点类对应于casselman基。
• 本文证明了bump、nakasuji与naruse的两个猜想：标准基与casselman基之间过渡矩阵的系数是全纯的，并可分解为有理函数的乘积。