[论文解读] Motivic twisted K-theory

Markus Spitzweck, Paul Arne Østvær|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 41被引用 5

一句话总结

本文通过利用权重为一的三度 motivic 同调类（通过沿通用 $Β\mathbf{G}_{\mathfrak{m}}$-丛的拉回定义）引入了 motivic twisted K-理论。它利用三重分次 Tor-谱序列和 $E_{\infty}$-环谱框架，建立了同调 motivic twisted K-理论的 Künneth 同构，并构建了一个有理数 Chern 映射，表明 twisted K-理论与 twisted periodized 有理数 motivic 同调同构。

ABSTRACT

This paper sets out basic properties of motivic twisted K-theory with respect to degree three motivic cohomology classes of weight one. Motivic twisted K-theory is defined in terms of such motivic cohomology classes by taking pullbacks along the universal principal BG_m-bundle for the classifying space of the multiplicative group scheme. We show a Kuenneth isomorphism for homological motivic twisted K-groups computing the latter as a tensor product of K-groups over the K-theory of BG_m. The proof employs an Adams Hopf algebroid and a tri-graded Tor-spectral sequence for motivic twisted K-theory. By adopting the notion of an E-infinity ring spectrum to the motivic homotopy theoretic setting, we construct spectral sequences relating motivic (co)homology groups to twisted K-groups. It generalizes various spectral sequences computing the algebraic K-groups of schemes over fields. Moreover, we construct a Chern character between motivic twisted K-theory and twisted periodized rational motivic cohomology, and show that it is a rational isomorphism. The paper includes a discussion of some open problems.

研究动机与目标

• 通过使用三度权重为一的 motivic 同调类来发展 motivic twisted K-理论的理论。
• 在 $\mathsf{B}\mathbf{G}_{\mathfrak{m}}$ 的 K-理论上建立同调 motivic twisted K-理论的 Künneth 同构。
• 构建将 motivic (同)同调与 twisted K-群联系起来的谱序列，推广经典 algebraic K-理论的谱序列。
• 定义并证明从 motivic twisted K-理论到 twisted periodized 有理数 motivic 同调的 Chern 映射是一个有理数同构。

提出的方法

• 通过沿与 $\mathsf{M}\mathbf{Z}^{3,1}(\mathscr{X})$ 中类相关的通用 $\mathsf{B}\mathbf{G}_{\mathfrak{m}}$-丛的同伦拉回定义 motivic twisted K-理论。
• 利用 $\mathsf{B}\mathbf{G}_{\mathfrak{m}}$ 与 $\mathbf{P}^\infty$ 之间的 motivic 弱同构，构造悬停谱上的模结构。
• 采用三重分次 Tor-谱序列来处理 motivic twisted K-理论，利用 $\mathsf{KGL}_\ast(\mathbf{P}^\infty)$ 上的 Adams Hopf 代数结构。
• 在 motivic 设置中采用 $E_{\infty}$-环谱的概念，将 motivic (同)同调与 twisted K-群联系起来。
• 从 motivic twisted K-理论构造一个到 twisted periodized 有理数 motivic 同调的 Chern 映射。
• 利用 Landweber 正则性与分次 Hopf 代数上的余模结构，证明 Chern 映射的有理数同构性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过使用三度权重为一的 motivic 同调类，将 twisted K-理论推广到 motivic 设置中？
• RQ2 哪些谱序列将 motivic (同)同调与 motivic twisted K-理论联系起来？它们如何推广经典 algebraic K-理论的谱序列？
• RQ3 从 motivic twisted K-理论到 twisted periodized 有理数 motivic 同调的 Chern 映射是否产生一个有理数同构？
• RQ4 motivic K-理论谱 $\mathsf{KGL}$ 作为 $\Sigma^\infty \mathbf{P}^\infty_+$ 上的模结构具有何种结构？它如何支持 twisted K-理论的构造？
• RQ5 同调 motivic twisted K-理论的 Künneth 同构在 $\mathsf{KGL}_\ast(\mathsf{B}\mathbf{G}_{\mathfrak{m}})$ 上的张量积下如何成立？

主要发现

• 本文建立了同调 motivic twisted K-理论的 Künneth 同构，将 twisted K-群表达为在 $\mathsf{KGL}_\ast(\mathsf{B}\mathbf{G}_{\mathfrak{m}})$ 上的张量积。
• 构建了一个三重分次 Tor-谱序列，用于计算 motivic twisted K-理论，其依赖于 $\mathsf{KGL}_\ast(\mathbf{P}^\infty)$ 上的 Adams Hopf 代数结构。
• 证明了从 motivic twisted K-理论到 twisted periodized 有理数 motivic 同调的 Chern 映射是一个有理数同构。
• $\Sigma^\infty \mathbf{P}^\infty_+$ 作为环谱，且 $\Sigma^\infty \mathscr{X}^{\tau}_+$ 通过通用 $\mathsf{B}\mathbf{G}_{\mathfrak{m}}$-丛成为其上的模。
• 证明了对偶 $(\mathsf{KGL}_\ast(\mathbf{P}^\infty), \mathsf{KGL}_\ast\mathsf{KGL} \otimes_{\mathsf{KGL}_\ast} \mathsf{KGL}_\ast(\mathbf{P}^\infty))$ 是一个平坦的分次 Adams Hopf 代数。
• 将 Landweber 正则性适应到分次 motivic 设置中，并用于证明映射 $\eta_L: \mathsf{KGL}_\ast(\mathbf{P}^\infty) \to \Gamma \otimes_{\mathsf{KGL}_\ast} \mathsf{KGL}_\ast(\mathbf{P}^\infty)$ 是平坦的，从而确保基变换的正则性。