[论文解读] Motzkin numbers of higher rank: Generating function and explicit expression

Toufik Mansour, Matthias Schork+1 more|ArXiv.org|Apr 21, 2007

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 11被引用 5

一句话总结

本文推导了高阶 Motzkin 数的生成函数与显式公式，推广了经典 Motzkin 数与彩色 Motzkin 数。通过构造双射，将 (u,l,d)-彩色情形简化为更简单的 (1,l,ud) 形式，从而导出高阶 Motzkin 路径的递推关系与生成函数，并利用代数方程与符号计算，给出了秩 2、3 和 4 的显式结果。

ABSTRACT

The generating function and an explicit expression is derived for the (colored) Motzkin numbers of higher rank introduced recently. Considering the special case of rank one yields the corresponding results for the conventional colored Motzkin numbers for which in addition a recursion relation is given.

研究动机与目标

• 解决 Schork 等人提出的关于高阶 (彩色) Motzkin 数生成函数与递推关系的开放问题。
• 通过引入上、水平、下三类步长的权重 (u,l,d)，推广经典 Motzkin 数与彩色 Motzkin 数。
• 在 (u,l,d)-彩色 Motzkin 路径与 (1,l,ud)-彩色路径之间建立双射，简化分析。
• 利用首次返回分解与代数方法，推导高阶 Motzkin 数的闭式生成函数与递推关系。
• 计算非彩色 Motzkin 数在秩 3 与 4 时的显式值与生成函数代数方程，揭示高阶情形的复杂性。

提出的方法

• 通过重新定义上下步对的颜色组合，在 (u,l,d)-彩色 Motzkin 路径与 (1,l,ud)-彩色路径之间建立双射。
• 应用首次返回分解，导出生成函数方程：$ M(x) = 1 + lxM(x) + udx^2M(x)^2 $，进而得到闭式生成函数。
• 推导显式公式：$ m_n^{(u,l,d)} = \sum_{j=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \frac{1}{j+1}\binom{2j}{j}\binom{n}{2j} u^j d^j l^{n-2j} $。
• 引入生成函数 $ B_{i,j} $ 的方程组，按秩与位置索引，用于高阶 Motzkin 数。
• 利用符号计算（通过 MAPLE 的 gfun 包）将代数方程转化为秩 3 与 4 的高阶线性递推关系。
• 分析生成函数 $ B_{0,0} $ 的代数结构，观察到秩 4 以内的次数与系数结构存在规律。

实验结果

研究问题

• RQ1 高阶 Motzkin 数的生成函数是什么？它如何推广经典与彩色情形？
• RQ2 能否为 (u,l,d)-彩色 Motzkin 数导出递推关系？在特定参数取值下，该关系是否退化为已知形式？
• RQ3 高阶 Motzkin 数的生成函数代数结构如何表现？其次数与系数结构是否存在规律？
• RQ4 非彩色 Motzkin 数在秩 3 与 4 时的显式值与生成函数代数方程是什么？
• RQ5 是否存在系统化方法推导高阶 Motzkin 数的递推关系？此类递推关系的最小阶数是多少？

主要发现

• (u,l,d)-彩色 Motzkin 数的生成函数为 $ \sum_{n\geq 0}m_n^{(u,l,d)}x^n = \frac{1 - lx - \sqrt{(1 - lx)^2 - 4udx^2}}{2udx^2} $，推广了经典情形。
• 推导出显式闭式表达式：$ m_n^{(u,l,d)} = \sum_{j=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \frac{1}{j+1}\binom{2j}{j}\binom{n}{2j} u^j d^j l^{n-2j} $。
• 对于秩 3，生成函数 $ B_{0,0} $ 满足一个 8 次代数方程：$ 0 = 1 - (1+x)B_{0,0} + 2xB_{0,0}^2 + x^2(1-2x)B_{0,0}^4 + \dots + x^8B_{0,0}^8 $。
• 对于秩 4，生成函数满足一个 16 次代数方程，系数属于 $ \mathbb{Z}[x] $，证实了 $ B_{0,0} $ 的多项式结构。
• 非彩色 Motzkin 数在秩 3 的前几项为：$ m_1^{(\mathbf{1},1,\mathbf{1})} = 1 $，$ m_2 = 4 $，$ m_3 = 16 $，$ m_4 = 78 $，$ m_5 = 404 $，$ m_6 = 2208 $。
• 秩 4 的序列从：$ m_1 = 1 $，$ m_2 = 5 $，$ m_3 = 25 $，$ m_4 = 155 $，$ m_5 = 1025 $，$ m_6 = 7167 $ 开始，且未在 OEIS 中列出。