[论文解读] Multi-Prover Quantum Merlin-Arthur Proof Systems with Small Gap

Attila Pereszlényi|arXiv (Cornell University)|May 12, 2012

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 4

一句话总结

该论文证明，具有指数级小的完备性-可识别性间隙的多证明者量子梅林-亚瑟（QMA[k]）证明系统与NEXP（非确定性指数时间）具有相同的表达能力，而具有相同间隙的单证明者QMA系统则包含于EXP。该结果通过在简洁3-着色问题上使用Blier-Tapp协议实现，表明当证明数量与输入大小呈线性关系时，仅使用贝尔测量的验证者（BellQMA）在小间隙条件下也能实现NEXP能力。这表明在小间隙情形下，单证明者与多证明者系统之间存在分离，假设EXP ≠ NEXP，且排除了具有良好近似参数的高效解纠缠器的存在。

ABSTRACT

This paper studies multiple-proof quantum Merlin-Arthur (QMA) proof systems in the setting when the completeness-soundness gap is small. Small means that we only lower-bound the gap with an inverse-exponential function of the input length, or with an even smaller function. Using the protocol of Blier and Tapp [arXiv:0709.0738], we show that in this case the proof system has the same expressive power as non-deterministic exponential time (NEXP). Since single-proof QMA proof systems, with the same bound on the gap, have expressive power at most exponential time (EXP), we get a separation between single and multi-prover proof systems in the 'small-gap setting', under the assumption that EXP is not equal to NEXP. This implies, among others, the nonexistence of certain operators called disentanglers (defined by Aaronson et al. [arXiv:0804.0802]), with good approximation parameters. We also show that in this setting the proof system has the same expressive power if we restrict the verifier to be able to perform only Bell-measurements, i.e., using a BellQMA verifier. This is not known to hold in the usual setting, when the gap is bounded by an inverse-polynomial function of the input length. To show this we use the protocol of Chen and Drucker [arXiv:1011.0716]. The only caveat here is that we need at least a linear amount of proofs to achieve the power of NEXP, while in the previous setting two proofs were enough. We also study the case when the proof-lengths are only logarithmic in the input length and observe that in some cases the expressive power decreases. However, we show that it doesn't decrease further if we make the proof lengths to be even shorter.

研究动机与目标

• 研究当完备性-可识别性间隙为指数级小时，多证明者量子梅林-亚瑟（QMA[k]）证明系统的表达能力。
• 确定此类系统是否能在验证者能力与证明长度受限的条件下，达到NEXP的全部能力。
• 探索仅使用贝尔测量的验证者（BellQMA）在小间隙情形下是否能模拟完整的QMA[k]系统。
• 研究当证明长度为输入大小的对数级别时，QMA[k]系统的表达能力受到何种影响。
• 建立关于高效解纠缠器的存在性以及在小间隙假设下QMA与QMA[2]之间分离的含义。

提出的方法

• 在NEXP-完全问题（SUCCINCT3COL）上使用Blier-Tapp协议，证明小间隙下QMA[k]的NEXP下界。
• 应用Chen-Drucker协议，表明在小间隙条件下，具有线性数量证明的BellQMA[k]系统可实现NEXP能力。
• 采用量子态验证技术，包括等价性测试、均匀性测试和一致性测试，以限制可识别性错误。
• 通过魔术态和量子线路实现酉算子的合成，以在对数长度证明上模拟任意酉操作。
• 通过量子线路编译和魔术态蒸馏，将对数长度证明的多证明者系统约化为单量子比特证明。
• 分析在诚实与敌对证明者下的接受概率，以建立具有指数级小误差的完备性与可识别性参数。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有指数级小间隙的多证明者QMA[k]系统是否能实现NEXP的全部表达能力？
• RQ2 小间隙下QMA[k]的表达能力是否依赖于证明者数量，达到NEXP所需的最小证明者数量是多少？
• RQ3 在小间隙情形下，仅使用贝尔测量的验证者（BellQMA）是否能实现与一般QMA[k]验证者相同的表达能力？
• RQ4 当证明长度为输入大小的对数级别时，证明长度对QMA[k]系统表达能力有何影响？
• RQ5 这些结果是否意味着不存在具有良好近似参数的高效解纠缠器？

主要发现

• 当完备性-可识别性间隙以输入长度的反双指数函数为界，且证明者数量为多项式且至少为两个时，QMA[k]具有与NEXP相同的表达能力。
• 即使仅有一侧错误，该结果依然成立，表明小间隙QMA[k]系统可在指数级小误差下实现NEXP。
• 在小间隙情形下，具有线性数量证明者的BellQMA[k]系统可实现与QMA[k]相同的表达能力，这一结果在标准反多项式间隙设定下尚不成立。
• 当证明长度缩短至对数以下时，QMA[k]系统在对数长度证明下的表达能力不会进一步降低。
• 在假设EXP ≠ NEXP下，结果表明不存在具有良好近似参数的高效解纠缠器。
• 在小间隙情形下，假设EXP ≠ NEXP，结果暗示了单证明者QMA与多证明者QMA[k]之间存在分离。