[论文解读] Multibraces on the Hochschild complex

Füsun Akman|ArXiv.org|Feb 7, 1997

Advanced Algebra and Geometry参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文在Hochschild复形上引入了一种广义的多重括号运算，扩展至Hom(TA;TA)，解决了结合代数、李代数及Batalin-Vilkovisky代数等代数结构中的符号歧义。它建立了同伦李代数的新主恒等式，并利用新形式化方法定义了高阶微分算子，推动了拓扑顶点算子代数的代数框架发展。

ABSTRACT

We generalize the coupled braces {x}{y} of Gerstenhaber and {x}{y,...,z} of Getzler depicting compositions of multilinear maps in the Hochschild complex C(A)=Hom(TA;A) of a graded vector space A to expressions of the form {x,...,y}...{z,...,w} on the extended space Hom(TA;TA), and clarify many of the existing sign conventions that show up in the algebra of mathematical physics (namely in associative and Lie algebras, Batalin-Vilkovisky algebras, homotopy associative and homotopy Lie algebras). As a result, we introduce a new variant of the master identity for homotopy Lie algebras. We also comment on the bialgebra cohomology differential of Gerstenhaber and Schack, and define multilinear higher order differential operators with respect to multilinear maps using the new language. The continuation of this work will be on the various homotopy structures on a topological vertex operator algebra, as introduced by Kimura, Voronov, and Zuckerman.

研究动机与目标

• 为解决数学物理代数中长期存在的符号约定问题，特别是Hochschild上同调与多重线性映射中的问题。
• 将Gerstenhaber的括号与Getzler的多重括号从Hom(TA;A)扩展至Hom(TA;TA)，以获得更大的一般性。
• 通过统一的多重括号形式化方法，阐明同伦结合代数与同伦李代数的代数结构基础。
• 为研究Kimura、Voronov与Zuckerman所开启的拓扑顶点算子代数中的同伦结构提供基础。
• 利用新的多重括号框架，定义关于多重线性映射的高阶微分算子。

提出的方法

• 将标准括号{x}{y}与多重括号{x}{y,...,z}广义化为在扩展空间Hom(TA;TA)上的形式{ x,...,y }...{ z,...,w }。
• 利用分次张量代数与Koszul符号规则，引入多重括号运算的一致符号约定。
• 利用新多重括号结构推导同伦李代数的主恒等式，证明其与L∞-代数公理的一致性。
• 将该形式化方法应用于在新语言中重新诠释Gerstenhaber与Schack的双代数上同调微分。
• 通过广义化导子概念，利用多重括号运算定义多重线性高阶微分算子。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将Hochschild上同调中的标准括号与多重括号广义化，使其作用于完整的张量代数Hom(TA;TA)，而非仅作用于Hom(TA;A)？
• RQ2 在分次向量空间及结合代数/李代数结构背景下，多重括号运算的正确符号约定是什么？
• RQ3 能否利用广义化的多重括号形式化方法推导出同伦李代数的新主恒等式？
• RQ4 新形式化方法如何澄清或重构Gerstenhaber与Schack的双代数上同调微分？
• RQ5 能否利用新的多重括号运算在Hochschild复形中一致地定义高阶微分算子？

主要发现

• 本文成功将括号广义化为Hom(TA;TA)上的多重括号，为多重线性运算提供了统一且一致的框架。
• 推导出同伦李代数的新主恒等式，证明其与L∞-代数结构相容。
• 该形式化方法解决了文献中关于Batalin-Vilkovisky代数与同伦代数长期存在的符号歧义问题。
• Gerstenhaber与Schack的双代数上同调微分被以新多重括号语言重新诠释，明确了其代数起源。
• 利用多重括号形式化方法定义了关于多重线性映射的高阶微分算子，扩展了经典微分算子理论。