[论文解读] Multifraction reduction I: The 3-Ore case and Artin-Tits groups of type FC

Patrick Dehornoy|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2016

Geometric and Algebraic Topology参考文献 18被引用 5

一句话总结

本文提出了一种新颖的代数方法，通过开发一种称为多重分式约化的收敛重写系统，解决了Artin-Tits群及其更一般的gcd-幺半群中的字问题。在3-Ore条件（该条件刻画了FC型Artin-Tits群）下，证明了每个群元素均可唯一表示为多重分式，从而为字问题提供了一种全新的、代数内在的解法，并具有通用的van Kampen图形状。

ABSTRACT

We describe a new approach to the Word Problem for Artin-Tits groups and, more generally, for the enveloping group U(M) of a monoid M in which any two elements admit a greatest common divisor. The method relies on a rewrite system R(M) that extends free reduction for free groups. Here we show that, if M satisfies what we call the 3-Ore condition about common multiples, what corresponds to type FC in the case of Artin-Tits monoids, then the system R(M) is convergent. Under this assumption, we obtain a unique representation result for the elements of U(M), extending Ore's theorem for groups of fractions and leading to a solution of the Word Problem of a new type. We also show that there exist universal shapes for the van Kampen diagrams of the words representing 1.

研究动机与目标

• 通过一种新颖的重写系统，解决Artin-Tits群及其包络幺半群的字问题。
• 将Ore的经典唯一分式表示推广到满足3-Ore条件的幺半群中的高阶多重分式。
• 为包络群元素建立一种广义标准不可约分式形式的规范形。
• 证明表示单位元的字的van Kampen图具有通用形状。
• 精确刻画本方法适用的Artin-Tits幺半群，即仅限于FC型。

提出的方法

• 引入一个作用于多重分式（带交替符号的幺半群元素序列）的重写系统 $\mathcal{R}_M$，并将其扩展为自由约化。
• 定义一个改进的系统 $\widehat{\mathcal{R}}_M$ 以处理gcd-幺半群的代数结构，并确保约化步骤的良定义性。
• 在3-Ore条件下证明 $\mathcal{R}_M$ 局部收敛，通过临界对引理得出其收敛性。
• 利用收敛性，为 $\mathcal{U}(M)$ 中所有元素建立唯一的不可约多重分式代表元，推广了Ore定理。
• 通过证明3-Ore条件等价于FC型，将该理论应用于Artin-Tits幺半群。
• 利用有限子集 $I \subseteq \SS$ 的Garside元素 $\Delta_I$ 存在性，证明全局公倍元的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为gcd-幺半群的包络群构造一个收敛重写系统，使其推广自由约化？
• RQ2 在何种条件下，多重分式约化能为群元素产生唯一的规范形？
• RQ3 对哪些Artin-Tits幺半群，该方法具有精确的代数刻画？
• RQ4 在该约化系统下，表示单位元的van Kampen图是否具有通用形状？
• RQ5 该新规范形与Artin-Tits群中现有的几何或组合规范形之间是否存在联系？

主要发现

• 当且仅当幺半群 $M$ 满足3-Ore条件时，多重分式约化系统 $\mathcal{R}_M$ 收敛。
• 包络群 $\mathcal{U}(M)$ 中的每个元素均可唯一表示为多重分式 $a_1 a_2^{-1} a_3 \cdots a_n^{\pm 1}$，并满足特定的互素性与不可整除性条件。
• 对于Artin-Tits幺半群，3-Ore条件成立当且仅当群为FC型，从而实现了完全刻画。
• 当 $M$ 允许具有长度保持关系的有限表示时，$\mathcal{U}(M)$ 的字问题可判定。
• 存在通用约化策略意味着所有表示单位元的van Kampen图均具有通用形状。
• 该方法提供了一种纯粹代数构造的测地规范形，可能与Niblo–Reeves的CAT(0)复形存在联系。