[论文解读] Multigraded regularity: syzygies and fat points

Jessica Sidman, Adam Van Tuyl|arXiv (Cornell University)|May 13, 2004

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 20被引用 42

一句话总结

本文建立了多重分次正则性两种定义——基于对合的定义与基于局部上同调的定义——在多重射影空间中重点概形坐标环上的联系。证明了重点概形的解析正则性向量等于其投影的 Castelnuovo-Mumford 正则性的元组，并表明该向量生成的集合是基于局部上同调的正则性集的子集，在算术 Cohen-Macaulay 条件下二者相等。

ABSTRACT

The Castelnuovo-Mumford regularity of a graded ring is an important invariant in computational commutative algebra, and there is increasing interest in multigraded generalizations. We study connections between two recent definitions of multigraded regularity with a view towards a better understanding of the multigraded Hilbert function of fat point schemes in P^{n_1} x ... x P^{n_k}.

研究动机与目标

• 比较并关联两种近期提出的多重分次正则性定义：一种基于对合次数，另一种基于局部上同调的消失性。
• 利用这些正则性概念，理解 $\mathbb{P}^{n_1} \times \cdots \times \mathbb{P}^{n_k}$ 中重点概形的多重分次 Hilbert 函数。
• 建立重点概形的多重分次 Hilbert 函数增长的定量界。
• 确定基于对合的正则性向量与基于局部上同调的正则性集相等的条件。

提出的方法

• 基于有限生成 $\mathbb{Z}^k$-分次模 $M$ 的多重分次对合模的生成元次数，定义一个解析正则性向量 $\underline{r}(M) \in \mathbb{N}^k$。
• 将多重分次正则性的局部上同调定义 $\operatorname{reg}_B(M)$ 定义为所有 $i$ 和所有在集合外的 $\mathbf{p}$ 满足 $H_B^i(M)_\mathbf{p} = 0$ 的次数集合。
• 证明 $\underline{r}(R/I_Z) = (r_1, \ldots, r_k)$，其中 $r_i = \operatorname{reg}(\pi_i(Z))$，$\pi_i(Z) \subseteq \mathbb{P}^{n_i}$ 为投影，将解析正则性与单变量正则性联系起来。
• 证明 $\underline{r}(R/I_Z) + \mathbb{N}^k \subseteq \operatorname{reg}_B(R/I_Z)$，强化了基于对合正则性的早期界。
• 应用局部上同调长正合序列的修改版本，推导短正合序列中模的正则性集之间的包含关系。
• 利用多重分次解析的结构和几乎正则序列的概念，当 $M$ 在次数 $\mathbf{0}$ 生成时，计算 $\underline{r}(M)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在多重射影空间中的重点概形背景下，基于对合的多重分次正则性定义与基于局部上同调的定义之间有何关系？
• RQ2 对于重点概形 $Z$，其解析正则性向量 $\underline{r}(R/I_Z)$ 与基于局部上同调的正则性集 $\operatorname{reg}_B(R/I_Z)$ 之间的确切关系是什么？
• RQ3 能否利用解析正则性向量对重点概形的多重分次 Hilbert 函数进行有界控制？其最终增长行为如何？
• RQ4 在何种条件下成立 $\underline{r}(R/I_Z) + \mathbb{N}^k = \operatorname{reg}_B(R/I_Z)$？
• RQ5 概形 $Z$ 的坐标环的正则性与其投影到各个 $\mathbb{P}^{n_i}$ 因子的正则性有何关系？

主要发现

• 重点概形 $Z \subseteq \mathbb{P}^{n_1} \times \cdots \mathbb{P}^{n_k}$ 的坐标环的解析正则性向量为 $\underline{r}(R/I_Z) = (\operatorname{reg}(\pi_1(Z)), \ldots, \operatorname{reg}(\pi_k(Z)))$，其中 $\pi_i(Z)$ 是 $Z$ 在 $\mathbb{P}^{n_i}$ 上的投影。
• 集合 $\underline{r}(R/I_Z) + \mathbb{N}^k$ 包含于基于局部上同调的正则性集 $\operatorname{reg}_B(R/I_Z)$ 中，改进了基于对合正则性的早期界。
• 当 $Z$ 为算术 Cohen-Macaulay 时，等式成立：$\underline{r}(R/I_Z) + \mathbb{N}^k = \operatorname{reg}_B(R/I_Z)$，表明在此情况下解析正则性向量完全决定了正则性集。
• 在 $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ 中的重点概形的多重分次 Hilbert 函数 $\mathcal{H}_Z(i,j)$ 最终稳定为一个常数值，该值等于 $Z$ 的度，且对所有满足 $i+j \geq \max\{m-1, 2m_1 - 2\}$ 的 $(i,j)$ 达到该值，其中 $m_1$ 为最大重数。
• 对于 $Z \subseteq \mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ 中具有 $s$ 个点、重数满足 $m_1 \geq \cdots \geq m_s$ 的情形，Hilbert 函数满足 $H_Z(\ell) \leq \sum_{i=1}^s \binom{m_i+1}{2} \ell + \text{低阶项}$，且在稳定范围内取等。
• 证明表明，对所有满足 $i+j = \ell$ 且 $i,j \geq m_1 - 1$ 的 $(i,j)$，有 $\mathcal{H}_Z(i,j)$ 等于其最终增长值，确认 Hilbert 函数在稳定区域中均匀稳定。