[论文解读] Multiple block sizes and overlapping blocks for multivariate time series extremes

Nan Zou, Stanislav Volgushev+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2019

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 36被引用 5

一句话总结

本文提出在多元块最大值方法中使用重叠块和多种块大小，以在不增加偏差的情况下降低渐近方差，实现块大小上一致的泛函中心极限定理。该方法通过偏差校正估计量实现更快的收敛速度，从而改进极值论Copula和二阶参数的估计。

ABSTRACT

Block maxima methods constitute a fundamental part of the statistical toolbox in extreme value analysis. However, most of the corresponding theory is derived under the simplifying assumption that block maxima are independent observations from a genuine extreme value distribution. In practice however, block sizes are finite and observations from different blocks are dependent. Theory respecting the latter complications is not well developed, and, in the multivariate case, has only recently been established for disjoint blocks of a single block size. We show that using overlapping blocks instead of disjoint blocks leads to a uniform improvement in the asymptotic variance of the multivariate empirical distribution function of rescaled block maxima and any smooth functionals thereof (such as the empirical copula), without any sacrifice in the asymptotic bias. We further derive functional central limit theorems for multivariate empirical distribution functions and empirical copulas that are uniform in the block size parameter, which seems to be the first result of this kind for estimators based on block maxima in general. The theory allows for various aggregation schemes over multiple block sizes, leading to substantial improvements over the single block length case and opens the door to further methodology developments. In particular, we consider bias correction procedures that can improve the convergence rates of extreme-value estimators and shed some new light on estimation of the second-order parameter when the main purpose is bias correction.

研究动机与目标

• 解决多元时间序列中块最大值方法缺乏理论发展的现状，特别是针对有限块大小和块间依赖的情况。
• 通过引入重叠块克服不相交块的局限性，以降低多元经验分布函数和Copula的渐近方差。
• 建立在块大小参数上一致的泛函中心极限定理，这是块最大值估计量的一个新结果。
• 通过多种块大小实现偏差校正程序，以提高极值估计量的收敛速度。
• 为跨多种块大小聚合估计量提供理论基础，提升极值推断中的稳健性与效率。

提出的方法

• 使用重叠块而非不相交块，以降低分量块最大值经验分布函数的渐近方差。
• 推导出在块大小参数上一致的多元经验分布函数和经验Copula的泛函中心极限定理。
• 提出在多种块大小上进行聚合的方案，以组合估计量并降低方差，利用极限定理的一致性。
• 提出基于多种块大小的偏差校正估计量，采用基于回归或朴素聚合的方法以提高收敛速度。
• 将理论应用于估计极值模型中的二阶参数，重点提升Copula估计中偏差的减少。
• 使用混合系数和依赖度量控制重叠块最大值之间的依赖结构，确保理论有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 重叠块是否能在不增加渐近偏差的情况下降低多元块最大值估计量的渐近方差？
• RQ2 在使用重叠块时，多元经验过程的泛函中心极限定理是否在不同块大小下依然有效且一致？
• RQ3 在多种块大小上进行聚合是否能比单一样本大小方法带来更快的极值Copula估计量收敛速度？
• RQ4 使用重叠块如何影响极值模型中二阶参数的估计？
• RQ5 基于多种重叠块大小的偏差校正估计量在中等维度下的计算可行性与效率如何？

主要发现

• 与不相交块相比，重叠块在不增加渐近偏差的情况下，一致地降低了多元经验分布函数和经验Copula的渐近方差。
• 本文建立了在块大小参数上一致的泛函中心极限定理，这是此前块最大值估计量所不具备的结果。
• 在多种块大小上聚合估计量可显著降低方差并改善均方误差，模拟研究已证实此效果。
• 基于多种块大小的偏差校正估计量比标准估计量具有更快的收敛速度，尤其在二阶参数估计中表现更优。
• 偏差校正估计量的计算时间保持在可接受范围内，即使多次计算 $\rho$，在 $d=8$ 和 $n=5000$ 的情况下，评估时间也低于5秒。
• 所提出的方法适用于多种Copula族，包括 $t$-Copula和外幂变换的Clayton Copula，其渐近行为有理论支持。