[论文解读] Multiple normalized solutions for quasi-linear Schrödinger equations

Louis Jeanjean, Tingjian Luo+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2014

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 26被引用 5

一句话总结

该论文通过扰动法克服了相关能量泛函的非可微性，建立了在 $N$ 维空间中一类拟线性薛定谔方程存在两个不同的 $L^2$-归一化解。其中一个解是在约束条件下为山路临界点，另一个是局部或全局极小化子，两者均满足给定的 $L^2$-范数条件，其中当 $N \geq 3$ 时 $p \in (1, \frac{3N+2}{N-2})$，当 $N=1,2$ 时 $p \in (1,\infty)$。

ABSTRACT

In this paper we prove the existence of two solutions having a prescribed $L^2$-norm for a quasi-linear Schrödinger equation. One of these solutions is a mountain pass solution relative to a constraint and the other one a minimum either local or global. To overcome the lack of differentiability of the associated functional, we rely on a perturbation method developed in [27].

研究动机与目标

• 建立一类由于 $u\Delta(|u|^2)$ 项导致能量泛函不可微的拟线性薛定谔方程的多个 $L^2$-归一化解的存在性。
• 通过采用文献 [27] 中提出的扰动方法，解决泛函 $I_\lambda(u)$ 的不可微性问题，从而实现在约束流形上的变分分析。
• 证明存在两种不同类型的解：一种为山路临界点，另一种为局部或全局极小化子，两者均在固定的 $L^2$-范数约束下成立。
• 将分析扩展至临界指数情形 $p = \frac{3N+2}{N-2}$（当 $N \geq 3$ 时），此时泛函的行为发生显著变化。
• 为拟线性薛定谔方程背景下归一化解的变分框架提供严格的理论基础，该框架与量子力学和离子体物理中的物理模型密切相关。

提出的方法

• 采用文献 [27] 中的扰动方法对非可微泛函 $V(u) = \int_{\mathbb{R}^N} |u|^2 |\nabla u|^2 dx$ 进行正则化，使临界点理论得以应用。
• 通过集合 $S(c) = \{u \in \mathcal{X} : \int_{\mathbb{R}^N} |u|^2 dx = c\}$ 引入 $L^2$-范数约束 $\|u\|_{L^2}^2 = c$，其中 $\mathcal{X}$ 是该问题的自然函数空间。
• 分析约束极小化问题 $m(c) = \inf_{u \in S(c)} J(u)$，其中 $J(u)$ 是能量泛函在 $S(c)$ 上的限制，从而获得一个作为极小化子的解。
• 在约束流形 $S(c)$ 上应用山路定理，获得第二个临界点，对应于非极小化临界水平。
• 采用径向对称约化方法，并与牛顿势 $K(r) = C r^{-(N-2)}$ 进行比较，推导出解及其导数的逐点衰减估计。
• 基于 Giaquinta 引理的迭代衰减估计技术，控制 $\nabla u$ 的 $L^2$-范数的增长，并推导出解的渐近行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 当关联能量泛函不可微时，能否证明拟线性薛定谔方程存在多个 $L^2$-归一化解？
• RQ2 在 $L^2$-归一化解中是否存在山路型解？它与极小化子有何区别？
• RQ3 对于幂次非线性项 $p$ 的精确范围是什么，使得多个归一化解存在，特别是接近临界指数 $\frac{3N+2}{N-2}$ 时？
• RQ4 泛函 $V(u) = \int |u|^2 |\nabla u|^2 dx$ 的不可微性如何影响变分结构及解的存在性？
• RQ5 解在无穷远处的渐近衰减行为是什么？它与牛顿势有何关联？

主要发现

• 当 $N \geq 3$ 时 $p \in (1, \frac{3N+2}{N-2})$，当 $N=1,2$ 时 $p \in (1,\infty)$，存在两个不同的 $L^2$-归一化解：一个是在 $S(c)$ 上使能量泛函 $J(u)$ 极小化的解，另一个是山路临界点。
• 极小化子对应拉格朗日乘子 $\lambda < 0$，且解弱满足静止方程 $-\Delta u - u\Delta(|u|^2) - \lambda u - |u|^{p-1}u = 0$。
• 当 $p = 3 + \frac{4}{N}$ 时，存在一个临界值，使得当 $c > c_N$ 时 $m(c) = -\infty$，表明紧性丧失，且在此临界质量以上可能不存在极小化子。
• 当 $N \geq 3$ 时 $p \in (3 + \frac{4}{N}, \frac{3N+2}{N-2})$，或当 $N=1,2$ 时 $p \in (3 + \frac{4}{N}, \infty)$，有 $m(c) = -\infty$，意味着不存在极小化子。
• 解满足逐点衰减估计：$|v_0(r)| \leq C_{\infty} K(r)$ 且 $|v_0'(r)| \leq C_{\infty} K'(r)$，其中 $K(r) = C r^{-(N-2)}$ 为牛顿势。
• 解的渐近行为特征为 $|v_0'(r)| \sim C r^{-(N-1)}$ 且 $v_0(r) \sim C r^{-(N-2)}$，其精确衰减速率由对 $r^{N-3} b(r)$ 的积分估计及 $b(r) \leq C r^{-N}$ 推导得出。