[论文解读] Multiplicative functions in short intervals II

Kaisa Matomäki, Maksym Radziwiłł|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2020

Analytic Number Theory Research被引用 4

一句话总结

本文為短区间内乘法函数建立了节能型误差界，证明即使区间长度短至底层乘法集自然密度的倒数，其平均值通常仍接近长期平均值。关键贡献在于，对例外集合给出了统一的节能型界 ≪X h₀^(-δκ)，该界对所有 h₀ ≥ 2 成立，且与函数在素数上的行为无关，适用于平方和、数域中的范数形式及光滑数等问题。

ABSTRACT

We determine the behavior of multiplicative functions vanishing at a positive proportion of prime numbers in almost all short intervals. Furthermore we quantify "almost all" with uniform power-saving upper bounds, that is, we save a power of the suitably normalized length of the interval regardless of how long or short the interval is. Such power-saving bounds are new even in the special case of the M\"obius function. These general results are motivated by several applications. First, we strengthen work of Hooley on sums of two squares by establishing an asymptotic for the number of integers that are sums of two squares in almost all short intervals. Previously only the order of magnitude was known. Secondly, we extend this result to general norm forms of an arbitrary number field $K$ (sums of two squares are norm-forms of $\mathbb{Q}(i)$). Thirdly, Hooley determined the order of magnitude of the sum of $(s_{n + 1} - s_{n})^{\gamma}$ with $\gamma \in (1, 5/3)$ where $s_{1} < s_2 < \ldots$ denote integers representable as sums of two squares. We establish a similar results with $\gamma \in (1, 3/2)$ and $s_n$ the sequence of integers representable as norm-forms of an arbitrary number field $K$. This is the first such result for a number field of degree greater than two. Assuming the Riemann Hypothesis for all Hecke $L$-functions we also show that $\gamma \in (1,2)$ is admissible. Fourthly, we improve on a recent result of Heath-Brown about gaps between $x^{\varepsilon}$-smooth numbers. More generally, we obtain results about gaps between multiplicative sequences. Finally our result is useful in other contexts aswell, for instance in our forthcoming work on Fourier uniformity (joint with Terence Tao, Joni Terav\"ainen and Tamar Ziegler).

研究动机与目标

• 建立乘法函数在长度与乘法集自然密度倒数成比例的区间内短平均值的统一节能型误差界。
• 将此前关于 Möbius 函数和平方和结果推广至一般乘法函数及任意数域。
• 量化短平均值显著偏离长期平均值的区间例外集合，实现与函数逐点大小无关的节能型界。
• 将一般理论应用于光滑数间隙与数域中范数形式的间隙，获得新的渐近与数量级结果。
• 为更广泛问题（包括未来工作中傅里叶均匀性）提供可适用的理论框架。

提出的方法

• 为稀疏狄利克雷多项式建立均值定理，利用哈拉斯型估计控制乘法函数在短区间上 L² 范数。
• 将狄利克雷多项式分解为二进制区间，并应用帕塞瓦尔型界控制 L² 矩。
• 运用筛法估计与矩计算控制短平均值的方差，尤其在存在非平凡抵消时。
• 引入一种新不等式（引理 A.1），通过等分布与重排论证处理涉及 log p 与频率余弦的振荡项。
• 结合经典与现代方法（包括零禁区与 Erdős–Turán 等分布不等式）在乘法数论中的混合技术。
• 结合经典与现代方法（包括零禁区与 Erdős–Turán 等分布不等式）在乘法数论中的混合技术。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否在区间长度上统一地获得乘法函数短平均值的节能型误差界，即使函数在正比例的素数上为零？
• RQ2 关于平方和与光滑数的结果在多大程度上可推广至度大于二的任意数域中的范数形式？
• RQ3 我们能否将乘法集定义的序列中间隙和 (n_{i+1} - n_i)^γ 的指数范围 γ 推广，超越对二次域已知的界限？
• RQ4 短平均值显著偏离长期平均值的例外区间集合的最优大小为何？
• RQ5 我们如何将理论推广至复值乘法函数及点态大小小于 1 的函数？

主要发现

• 对任意满足 f: ℕ → [−1, 1] 且在正比例素数上为零的乘法函数 f，其在长度 ≍ δ(N;X)⁻¹ 的区间上的短平均值，对所有 x ∈ [X, 2X] 中除 ≪X h₀^(-δκ) 个值外，均与长期平均值相差不超过 δ，其中 κ = κ(α) > 0 依赖于密度 α。
• 当 δ ≥ (log h₀)^(-1/300) 时，例外集合大小满足 ≪X (h₀^(-δ/15) + X^(-δ⁴/¹⁰¹⁶))，优于此前要求 h₀ ≤ log^ν X 的界限。
• 对可表示为数域 K 范数形式的整数序列，对所有 γ ∈ [1, 3/2)，有 ∑_{n_i ≤ X} (n_{i+1} - n_i)^γ ≍ X δ_K(X)^{1−γ}，优于 Heath-Brown 对光滑数的结果。
• 该结果可推广至光滑数：在 [X,2X] 中不包含 x^θ-光滑数的区间 (x, x+h] 的数量为 ≪ε,θ X h₀^(-1/2+ε)，优于先前界限。
• 在所有 Hecke L-函数的黎曼假设下，间隙和的指数范围可扩展至 γ ∈ (1,2)，且对所有数域结果一致成立。
• 该方法导出了一个新不等式（引理 A.1），控制 |f(p)|(1 - |cos(π t log p / 2π)|) 在短区间上的和，对控制 L² 均值中的振荡项至关重要。