[论文解读] Multiscale Modeling, Homogenization and Nonlocal Effects: Mathematical and Computational Issues

Qiang Du, Björn Engquist+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2019

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 42被引用 6

一句话总结

本文在数学与计算层面建立了均质化与非局部建模之间的正式联系，证明了非局部相互作用自然地作为多尺度问题的极限出现。它展示了均质化如何指导非局部模型的结构设计，以及非局部性如何通过渐近相容性和降低计算复杂度来增强均质化的数值方法。

ABSTRACT

In this work, we review the connection between the subjects of homogenization and nonlocal modeling and discuss the relevant computational issues. By further exploring this connection, we hope to promote the cross fertilization of ideas from the different research fronts. We illustrate how homogenization may help characterizing the nature and the form of nonlocal interactions hypothesized in nonlocal models. We also offer some perspective on how studies of nonlocality may help the development of more effective numerical methods for homogenization.

研究动机与目标

• 正式建立均质化与非局部建模之间的联系，促进这两个研究领域的交叉融合。
• 研究非局部相互作用如何作为具有高度振荡系数的多尺度PDE的极限出现。
• 探索非局部建模是否能改进数值均质化方案，尤其是在缺乏尺度分离的情况下。
• 通过预计算、降维基底和自适应影响域大小设定，降低非局部与多尺度模拟中的计算复杂度。
• 开发渐近相容的离散化方法，确保在多尺度下保持精度。

提出的方法

• 利用均质化理论，从具有振荡系数的局部多尺度PDE中推导出有效非局部波方程。
• 应用模型降阶技术（如舒尔补法和Mori-Zwanzig形式化）从局部系统生成非局部算子。
• 采用多尺度有限元法（MsFEM）和非均匀多尺度方法（HMM）数值逼近均质化解。
• 分析具有细尺度参数ε的局部问题在ε → 0时的极限，表明其收敛于非局部或局部有效模型，具体取决于系统特性。
• 引入数值影响域δ > ε以近似非局部算子，从而高效计算分数阶拉普拉斯算子。
• 利用预计算和降维基底技术，降低均质化与非局部建模中的计算成本。

实验结果

研究问题

• RQ1 非局部相互作用如何作为具有高度振荡系数的多尺度局部PDE的极限出现？
• RQ2 在均质化极限下，非局部模型是否可作为比局部模型更通用的有效模型？
• RQ3 非局部性如何指导数值均质化中基函数的设计，以实现渐近相容性？
• RQ4 影响域大小δ在近似非局部算子中起什么作用？如何优化其以实现计算效率？
• RQ5 能否将数值均质化中的技术（如预计算和降维基底）迁移至非局部建模，以降低复杂度？

主要发现

• 非局部模型可作为具有高对比度或多尺度系数的局部PDE的均质化极限出现，表明非局部性是一种自然的有效描述。
• 当细尺度参数ε → 0时，局部问题的极限可能产生非局部有效方程，尤其在高对比度非均质性情况下。
• 通过设计在ε → 0和δ → 0下仍保持精度的数值格式，可实现渐近相容性，误差量级从O(ε/δ)提升至O((ε/δ)^γ)，其中γ > 1。
• 在MsFEM中预计算多尺度基函数，以及在HMM中预计算广义单元问题，可显著降低数值均质化中的计算成本。
• 在耦合局部-非局部模型中采用自适应影响域大小和空间可变的局部化策略，可在保持精度的同时降低计算复杂度。
• 结合快速多极方法与降维基底技术，可为典型非局部求解器中O(N²)的复杂度提供降低路径。