[论文解读] Multivariate P-Eulerian polynomials

Petter Brändén, Madeleine Leander|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2016

Advanced Combinatorial Mathematics被引用 2

一句话总结

本文引入了多元 P-Eulerian 多项式作为一元 P-Eulerian 多项式的稳定扩展，证明了这些多元多項式在某些类别的标记偏序集中是稳定的（在上半平面内不为零），包括自然标记的递减森林和序和。关键贡献是通过 Malvenuto-Reutenauer 代数和一种新型的 Dyck 路径代数，建立了在不相交并集和序和下的稳定性，将实根性推广到多元设置，并细化了系数的单峰性和对数凹性。

ABSTRACT

The P-Eulerian polynomial counts the linear extensions of a labeled partially ordered set, P, by their number of descents. It is known that the P-Eulerian polynomials are real-rooted for various classes of posets P. The purpose of this paper is to extend these results to polynomials in several variables. To this end we study multivariate extensions of P-Eulerian polynomials and prove that for certain posets these polynomials are stable, i.e., non-vanishing whenever all variables are in the upper half-plane of the complex plane. A natural setting for our proofs is the Malvenuto-Reutenauer algebra of permutations (or the algebra of free quasi-symmetric functions). In the process we identify an algebra on Dyck paths, which to our knowledge has not been studied before.

研究动机与目标

• 将一元 P-Eulerian 多项式扩展为标记偏序集的多元稳定多项式。
• 建立多元 P-Eulerian 多项式在未一元版本为实根的偏序集类中为稳定（在上半平面内不为零）的性质。
• 利用 Malvenuto-Reutenauer 代数和自由拟对称函数，构建分析多元稳定性的框架。
• 引入并研究一种关于 Dyck 路径的新分次代数，该代数在文献中此前未被探索。
• 推广 Stembridge 的峰多项式，并在多元 P-Eulerian 稳定性下证明其 Hurwitz 稳定性。

提出的方法

• 使用基于标记偏序集线性扩展中下降和上升底部的单项式来定义多元 P-Eulerian 多项式。
• 使用元素及其带撇副本的变量来编码通过加权单项式表示的下降和上升底部。
• 通过自由拟对称函数和齐次性，证明在不相交并集下多元 P-Eulerian 多项式的稳定性。
• 通过构造 AP⊕Q(z) 为涉及 AP(z) 和 AQ0(z) 的乘积，并利用变量代换和稳定性保持性，建立在序和下的稳定性。
• 引入 Dyck 路径上的新代数 D，并证明在 D 中乘法对加权 Dyck 路径和保持稳定性。
• 应用线性算子将多元 P-Eulerian 多项式与多元峰多项式关联，通过变量旋转和齐次性证明 Hurwitz 稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以构造多元 P-Eulerian 多项式的扩展，使得稳定性（在上半平面内不为零）蕴含一元情形下的实根性？
• RQ2 多元 P-Eulerian 多项式的稳定性是否尊重偏序集的不相交并集？
• RQ3 多元 P-Eulerian 多项式能否扩展到峰多项式，且当原多项式稳定时，所得多项式是否为 Hurwitz 稳定？
• RQ4 Dyck 路径上是否存在一种自然的代数结构，使得乘法保持稳定性？
• RQ5 多元 P-Eulerian 多项式的稳定性是否蕴含同一偏序集下多元峰多项式的稳定性？

主要发现

• 对于自然标记的递减森林，多元 P-Eulerian 多项式是稳定的（在上半平面内不为零）。
• AP(z) 和 AQ(z) 的稳定性蕴含 AP⊔Q(z) 的稳定性，将 Neggers-Stanley 猜想推广到多元设置。
• 多元 P-Eulerian 多项式在序和下是稳定的，且 AP⊕Q(z) 可表示为涉及 AP(z) 和 AQ0(z) 的乘积。
• 引入了一种关于 Dyck 路径的新分次代数 D，且 D 中的乘法对 Dyck 路径的加权和保持稳定性。
• 当 AP(z) 稳定时，多元峰多项式 ¯AP(z) 是 Hurwitz 稳定的，且 ¯AP(x) 是实根的。
• 自然标记递减森林的对偶具有稳定的多元 P-Eulerian 多项式，因为稳定性在对偶下被保持。