[论文解读] Multivariate quantiles and multivariate L-moments

Alexis Decurninge|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2014

Mathematical functions and polynomials被引用 10

一句话总结

本文通过利用最优传输和Rosenblatt变换定义多元分位数，并将这些分位数函数投影到 $L^2([0,1]^d)$ 中的正交多项式基上，提出了一种新颖的多元L-矩框架。主要贡献在于提出了一种一致且保持特征性质的多元L-矩定义，该定义保留了单变量L-矩的优良特性，包括不变性、稳健性以及在参数族中的可处理性。

ABSTRACT

Univariate L-moments are expressed as projections of the quantile function onto an orthogonal basis of polynomials in $L_2([0;1],\mathbb{R})$. We present multivariate versions of L-moments expressed as collections of orthogonal projections of a multivariate quantile function on a basis of multivariate polynomials in $L_2([0;1]^d,\mathbb{R})$. We propose to consider quantile functions defined as transport from the uniform distribution on $[0;1]^d$ onto the distribution of interest. In particular, we present the quantiles defined by the transport of Rosenblatt and the optimal transport and the properties of the subsequent L-moments.

研究动机与目标

• 将单变量L-矩推广至多元设置，同时保留分布特征刻画和稳健性等关键性质。
• 通过 $[0,1]^d$ 上均匀分布的传输映射定义多元分位数，确保与单变量情形的一致性。
• 建立多元L-矩框架，即作为 $L^2([0,1]^d)$ 中多元多项式基上分位数函数的正交投影。
• 确保所得L-矩在位置和尺度变换下保持不变性，并对异常值具有稳健性。
• 利用最优传输和功率图构造多元L-矩的一致且可处理的估计量。

提出的方法

• 将多元L-矩定义为 $\lambda_r = \int_{[0,1]^d} Q(u) \cdot L_r(u) \, du$，其中 $Q$ 为多元分位数函数，$L_r$ 为 $[0,1]^d$ 上的正交多项式。
• 利用最优传输映射 $T: [0,1]^d \to \mathbb{R}^d$ 通过均匀测度的前推定义分位数，确保单调性和可逆性。
• 采用Rosenblatt变换作为替代的分位数映射，特别适用于基于拷贝的建模和依赖结构分析。
• 通过使用功率图的离散最优传输构造估计量，并从经验数据出发构造分段线性传输映射。
• 利用凸分析和控制收敛定理，在较弱的正则性条件下建立最优传输估计量的一致性。
• 应用截断和基于Hermite的扩展以提升稳健性，并处理独立变量的线性组合。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以定义多元L-矩，使其保留单变量L-矩的特征性质？
• RQ2 在 $\mathbb{R}^d$ 上缺乏全序关系的情况下，如何一致地定义多元分位数？
• RQ3 哪些基于传输的分位数映射（如最优传输、Rosenblatt）能产生具有不变性与稳健性等优良性质的L-矩？
• RQ4 能否从经验样本中构造出一致且计算上可处理的多元L-矩估计量？
• RQ5 截断和基于Hermite的多元L-矩变体在重尾或依赖性较强的设定下如何提升稳健性和估计性能？

主要发现

• 所提出的多元L-矩由矩的无限序列表征，保留了单变量L-矩的唯一性性质。
• 从 $[0,1]^d$ 到 $\mathbb{R}^d$ 的最优传输映射提供了稳定且明确定义的分位数函数，从而支持多元L-矩的构建。
• 基于最优传输得到的L-矩在位置和尺度变换下保持不变性，且对高于二阶的矩具有平移不变性。
• 在弱正则性条件下，多元L-矩的离散最优传输估计量具有一致性，其收敛性通过凸分析和控制收敛定理得以证明。
• 使用功率图可显式计算离散传输映射，从而促进从经验数据出发的实际估计。
• 截断和基于Hermite的L-矩在参数族中表现出更优的稳健性和可处理性，尤其适用于重尾分布。