[论文解读] Mutually unbiased measurements with arbitrary purity

Mahdi Salehi, Seyed Javad Akhtarshenas+2 more|arXiv (Cornell University)|May 18, 2021

Quantum Information and Cryptography参考文献 29被引用 6

一句话总结

本论文提出了一类任意纯度的互 unbiased 测量（MUMs），适用于 d 维量子系统，将互 unbiased 基（MUBs）的框架推广至非秩一投影算符的情形。通过利用迹为零的厄米特算符与可调参数构造 MUMs，作者表明：仅需两个 MUMs 即可检测两体纯态中的纠缠，且互补测量的负期望值与一个纠缠单调量成正比。

ABSTRACT

Mutually unbiased measurements are a generalization of mutually unbiased bases in which the measurement operators need not to be rank one projectors. In a $d$-dimension space, the purity of measurement elements ranges from $1/d$ for the measurement operators corresponding to maximally mixed states to $1$ for the rank one projectors. In this contribution, we provide a class of MUM that encompasses the full range of purity. Similar to the MUB in which the operators corresponding to different outcomes of the same measurement commute mutually, our class of MUM possesses this sense of compatibility within each measurement. This makes the provided class more similar to the MUB, so that the main difference between them and MUB is due to the purity of the measurement operators. The spectra of these MUMs provides a way to construct a class of $d$-dimensional orthogonal matrices which leave the vector of equal components invariant. Based on this property, and by using the MUM-based entanglement witnesses, we investigate the role of purity to detect entanglement of bipartite states.

研究动机与目标

• 将互 unbiased 基（MUBs）推广至任意纯度的测量，不再局限于秩一投影算符。
• 构造一类互 unbiased 测量（MUMs），其纯度范围覆盖从 1/d（最大混合态）到 1（投影算符）的全范围。
• 建立这些 MUMs 的谱与保持均匀向量不变的正交矩阵之间的联系。
• 将基于 MUMs 的纠缠判据应用于两体态，以确定检测纠缠所需的最少测量次数。
• 证明在一般两体纯态中，仅两个 MUMs 足够用于检测纠缠，且其负均值与一个纠缠单调量相关联。

提出的方法

• 通过形式 $ P^{(b)}_n = \frac{1}{d}\mathbb{1} + t F^{(b)}_n $ 构造 MUMs，其中 $ F^{(b)}_n $ 为迹为零的厄米特算符，$ t $ 控制纯度。
• 通过约束 $ t $ 在 $ F^{(b)}_n $ 的极端本征值范围内，确保 $ P^{(b)}_n $ 的正定性，其中 $ \kappa = \text{Tr}[P^{(b)}_n]^2 $ 作为纯度参数。
• 通过迹条件 $ \text{Tr}[P^{(b)}_n P^{(b')}_{n'}] = \frac{1}{d} + \delta_{b,b'}\left(\delta_{n,n'} - \frac{1}{d}\right)\frac{\kappa - \frac{1}{d}}{\frac{1}{d} - 1} $ 推导互 unbiased 条件。
• 利用 MUMs 的谱性质构造保持均匀向量不变的正交矩阵，从而与组合设计建立联系。
• 将基于 MUMs 的纠缠判据应用于两体态，表明第一个 MUM 对所有纯态的均值为零，而互补 MUM 对纠缠态的均值为负。
• 证明该负均值的大小与一个纠缠单调量成正比，从而确认其作为可检测纠缠判据的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造出具有任意纯度的互 unbiased 测量（MUMs），从而将 MUBs 的框架扩展至非秩一投影算符？
• RQ2 检测两体量子态中的纠缠，所需的最少 MUM 数量是多少？
• RQ3 互补 MUM 的期望值在两体纯态中与纠缠度量有何关系？
• RQ4 MUMs 的谱结构能否用于生成保持均匀向量不变的正交矩阵？
• RQ5 在纠缠态上，第二个 MUM 的负均值是否与已知的纠缠单调量成正比？

主要发现

• 作者构造了一类纯度 $ \kappa \in [1/d, 1] $ 的 MUMs，将 MUBs 推广至任意秩的测量。
• 对于任意 d 维系统，所提出的 MUMs 通过迹为零算符的参数化族满足互 unbiased 条件。
• 仅需两个 MUMs 即可检测一般两体纯态中的纠缠：第一个对所有纯态的均值为零，第二个对纠缠态的均值为负。
• 第二个 MUM 的负期望值与一个纠缠单调量成正比，确认其作为可检测纠缠判据的作用。
• MUMs 的谱生成了保持等成分向量不变的正交矩阵，从而与对称设计建立联系。
• 该构造表明，对于如最大混合态等满秩态，需要一组完整的 MUMs 才能实现完全的纠缠检测，而低秩混合态则需要更少的测量。