[论文解读] Nambu-Dirac Structures on Lie Algebroids

Aı̈ssa Wade|ArXiv.org|Apr 25, 2002

Advanced Topics in Algebra被引用 3

一句话总结

本文通过利用李代数丛上同调导出的维诺格拉多夫括号，将南布-泊松结构推广到李代数丛上，引入了高阶Dirac结构，统一了南布-泊松结构与标准Dirac结构。主要贡献在于证明了在特定条件下，任何阶数 $ p \geq 3 $ 的李代数丛上的南布-泊松结构均可分解，并且每种此类结构均诱导出一个阶数为 $ p $ 的Dirac结构，后者进一步使可容许函数空间配备上一个南布-泊松括号。

ABSTRACT

The theory of Nambu-Poisson structures on manifolds is extended to the context of Lie algebroids, in a natural way based on the Vinogradov bracket associated with Lie algebroid cohomology. We show that, under certain assumptions, any Nambu-Poisson structure on a Lie algebroid is decomposable.Also, we introduce the concept of a higher order Dirac structure on a Lie algebroid. This allows to describe both Nambu-Poisson structures on Lie algebroids and Dirac structures on manifolds in the same setting.

研究动机与目标

• 将南布-泊松结构从流形推广到更广泛的李代数丛框架中。
• 通过高阶Dirac结构，在单一框架内统一描述南布-泊松结构与Dirac结构。
• 在李代数丛上建立阶数 $ p \geq 2 $ 的南布-泊松结构与阶数 $ p $ 的Dirac结构之间的对应关系。
• 证明在阶数 $ p $ 的Dirac结构下，可容许函数空间继承一个南布-泊松括号。

提出的方法

• 利用李代数丛微分 $ d_E $，在 $ \Gamma(\Lambda^\bullet E^*) $ 的分次自同态空间上定义一个维诺格拉多夫括号。
• 在 $ \Gamma(E \oplus \Lambda^\bullet E^*) $ 上构造一个括号 $ \lfloor\!\lfloor \cdot, \cdot \rfloor\!\rfloor_E $，通过映射 $ \sigma $ 提升维诺格拉多夫括号。
• 将李代数丛 $ E $ 上的阶数 $ p $ 南布-泊松结构定义为满足特定上同调恒等式的截面 $ \Pi \in \Gamma(\Lambda^p E) $，其中涉及 $ d_E $ 与内乘积。
• 将阶数 $ p $ 的Dirac结构定义为子丛 $ L \subset E \times \Lambda^{p-1}E^* $，其在 $ \lfloor\!\lfloor \cdot, \cdot \rfloor\!\rfloor_E $ 括号下封闭，并通过对偶性满足非退化性条件。
• 通过条件 $ d_E f|_{L \cap E} = 0 $ 刻画 $ L $-可容许函数，并利用相应的 $ (p-1) $-张量场在这些函数上定义一个反对称括号。
• 证明在 $ L $-可容许函数上诱导出的括号满足基本恒等式，从而构成一个南布-泊松结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何自然地将流形上的南布-泊松结构推广到李代数丛的语境中？
• RQ2 维诺格拉多夫括号在李代数丛框架下统一南布-泊松结构与Dirac结构中起什么作用？
• RQ3 在何种条件下，李代数丛上阶数 $ p \geq 3 $ 的南布-泊松结构是可分解的？
• RQ4 是否可以在李代数丛上定义高阶Dirac结构，使其在可容许函数上诱导出南布-泊松括号？
• RQ5 阶数 $ p $ 的Dirac结构的特征叶层结构如何与底层南布-泊松结构的可积性与约化相关联？

主要发现

• 当 $ \Gamma(E^*) $ 由形如 $ d_E f $ 的元素生成时，李代数丛 $ E $ 上任意阶数 $ p \geq 3 $ 的南布-泊松结构 $ \Pi $ 均可分解。
• 由 $ \sigma: \Gamma(E \oplus \Lambda^\bullet E^*) \to \mathrm{End}(\Gamma(\Lambda^\bullet E^*)) $ 定义的映射 $ \sigma(X,\alpha) = i_X + m(\alpha) $ 是 $ C^\infty $-线性，并与导出括号保持交换。
• 括号 $ \lfloor\!\lfloor (X,\alpha), (Y,\beta) \rfloor\!\rfloor_E = ([X,Y]_E, \mathcal{L}^E_X \beta - i_Y d_E \alpha) $ 使 $ \Gamma(E \oplus \Lambda^\bullet E^*) $ 赋予一个与李代数丛上同调相容的李布尼茨代数结构。
• 李代数丛 $ E $ 上阶数 $ p \geq 2 $ 的南布-泊松结构可导出一个阶数 $ p $ 的Dirac结构，定义为在 $ \lfloor\!\lfloor \cdot, \cdot \rfloor\!\rfloor_E $ 括号下封闭的极大余 isotropic 子丛 $ L \subset E \times \Lambda^{p-1}E^* $。
• 满足 $ d_E f|_{L \cap E} = 0 $ 的 $ L $-可容许函数集合对乘法封闭，并继承一个定义良好的阶数 $ p $ 南布-泊松括号。
• 在 $ L $-可容许函数上诱导出的南布-泊松括号的基本恒等式，源于 $ L $ 对 $ \lfloor\!\lfloor \cdot, \cdot \rfloor\!\rfloor_E $ 括号的封闭性以及李代数丛作用的李布尼茨性质。