[论文解读] Nanostructures imaging via numerical solution of a 3-d inverse scattering problem without the phase information

Michael V. Klibanov, Loc H. Nguyen+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2015

Numerical methods in inverse problems参考文献 27被引用 4

一句话总结

本文提出两种严格的数值方法，用于仅基于散射波场的模量（无相位信息）对三维纳米结构和生物细胞进行逆散射成像。该方法实现了亚波长尺度（0.32λ_min）的超分辨率成像，并表明两种方法均能实现高质量重建，其中一种方法可实现精确的相位恢复，从而通过全局收敛的反演技术实现图像优化。

ABSTRACT

Inverse scattering problems without the phase information arise in imaging of nanostructures whose sizes are hundreds of nanometers as well as in imaging of biological cells. The governing equation is the 3-d generalized Helmholtz equation with the unknown coefficient, which represents the spatially distributed dielectric constant. It is assumed that only the modulus of the complex valued wave field is measured on a frequency range. The phase is not measured. Two rigorous numerical methods are tested and their performances are compared for realistic ranges of parameters.

研究动机与目标

• 解决仅能测量散射波场模量而无相位信息时，对纳米结构和生物细胞成像的挑战。
• 开发并比较两种严格的数值方法，用于求解由广义Helmholtz方程控制的三维相位无损逆散射问题。
• 在与纳米成像和细胞成像相关的实际频率范围（k = 60–90）内评估这些方法的性能。
• 探索仅使用模量数据实现超分辨率成像的可行性，并通过两阶段方法实现精确的对比度重建。
• 为未来高保真成像奠定基础，通过恢复完整的波场相位，使全局收敛系数反演方法得以应用。

提出的方法

• 第一种方法使用Born近似线性化逆散射问题，求解广义Helmholtz方程的线性化版本以重建介电对比度。
• 第二种方法基于Klibanov和Romanov（2018）的方法，主重建步骤中避免线性化，而是通过求解逆运动学问题来恢复波场的相位和振幅。
• 两种方法最终均应用逆Radon变换来重建介电常数β(x)的空间分布，即使在有限且实际的无量纲频率k值下也适用。
• 正问题通过Lippmann-Schwinger积分方程求解，以生成不假设Born近似的合成数据。
• 在第二种方法中，相位函数τ(x, x₀)被准确恢复，从而可后续应用全局收敛系数反演技术。
• 提出一种两阶段成像策略：首先以高精度重建波场u(x, x₀, k)，然后利用该结果通过全局收敛方法（如文献[2]或[13]中的方法）进一步优化介电对比度β(x)的重建。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否仅从模量数据（无相位信息）实现对纳米结构和生物细胞的高精度3D成像？
• RQ2 在实际频率参数（k = 60–90）下，基于Born近似的数值方法与非线性化方法的性能特征如何比较？
• RQ3 当散射体之间的距离小于最小波长的一半（0.32λ_min < λ_min/2）时，是否仍可实现超分辨率成像？
• RQ4 能否从仅模量数据中准确恢复散射波场的相位，以实现高精度系数反演？
• RQ5 在数据显著偏离Radon变换理论适用范围的情况下，逆Radon变换在非理想数据上的有效应用程度如何？

主要发现

• 基于求解问题1（非线性化逆运动学问题）的方法生成的图像质量优于Born近似方法，尤其在分辨精细结构细节方面表现更优。
• 尽管Born近似在大k值下理论上不成立，但在k = 90时其成像质量仍略优于k = 60时，表明其在实际条件下的鲁棒性。
• 观察到超分辨率现象：两个间距为0.025 μm（0.32λ_min）的散射体被成功分辨，尽管其间距小于λ_min/2。
• 尽管数据与Radon变换的理想适用范围存在显著偏差（如对比(b)与(e)和(g)所示），逆Radon变换仍能生成高质量重建结果。
• 在非线性化方法中，相位函数τ(x, x₀)被准确恢复，为未来应用全局收敛系数反演技术以实现更优的对比度重建提供了可能。
• 两阶段成像策略可行：首先以高精度恢复波场u(x, x₀, k)，然后将其作为输入，利用全局收敛方法实现β(x)的高保真度重建。