[论文解读] Natural connections on conformal Riemannian P-manifolds

Dobrinka Gribacheva, Dimitar Mekerov|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 1被引用 6

一句话总结

本文研究共形黎曼P-流形（类𝒲₁）上的自然线性联络，聚焦曲率性质与平行挠率。论文对曲率张量表现如凯勒张量的自然联络进行分类，识别出特殊联络D与D̃，并刻画了存在自然联络且具有平行挠率与黎曼P-曲率的流形。

ABSTRACT

The class W_1 of conformal Riemannian P-manifolds is the largest class of Riemannian almost product manifolds, which is closed with respect to the group of the conformal transformations of the Riemannian metric. This class is an analogue of the class of conformal Kaehler manifolds in almost Hermitian geometry. In the present work we study the natural connections on the manifolds (M, P, g) from the class W_1, i.e. the linear connections preserving the almost product structure P and the Riemannian metric g. We find necessary and sufficient conditions the curvature tensor of such a connection to have similar properties like the ones of the Kaehler tensor in Hermitian geometry. We determine the type of the manifolds admitting a natural connection with a parallel torsion.

研究动机与目标

• 研究共形黎曼P-流形（类𝒲₁）上的自然线性联络，该联络同时保持近复结构P与黎曼度量g。
• 确定自然联络的曲率张量具有类似于Hermitian几何中凯勒张量性质的充要条件。
• 刻画存在自然联络且具有平行挠率与黎曼P-曲率张量的黎曼P-流形。
• 基于曲率张量行为与挠率平行性，对𝒲₁-流形上的自然联络进行分类。

提出的方法

• 使用由Levi-Civita联络与1-形式θ参数化的𝒲₁-流形上自然联络的一般形式，参数为λ与μ。
• 应用曲率张量变换公式，将自然联络∇′的曲率张量R′与Levi-Civita曲率R关联。
• 引入黎曼P-张量的概念，作为Hermitian几何中凯勒张量的类比。
• 通过分析张量W(y,z) = θ(Py)θ(z) − θ(y)θ(Pz)，分析曲率张量R′为黎曼P-张量的条件。
• 分析自然联络的挠率张量，并利用1-形式θ及其拉回θ∘P推导其平行性的条件。
• 应用典范联络∇ᶜ（定义为λ=0，μ=−1/(4n)），并证明其为联络D与D̃的平均。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，𝒲₁-流形上自然联络的曲率张量为黎曼P-张量？
• RQ2 哪些自然联络在𝒲₁-流形上产生具有凯勒型对称性的曲率张量？
• RQ3 在何种条件下，𝒫₁-流形上的自然联络具有平行挠率？
• RQ4 若𝒲₁-流形存在具有平行挠率与黎曼P-曲率的自然联络，则其几何上会受到何种约束？
• RQ5 典范联络、D与D̃在曲率与挠率性质方面有何关系？

主要发现

• 自然联络∇′在𝒲₁-流形上的曲率张量R′为黎曼P-张量，当且仅当1-形式θ与θ∘P满足特定条件，且依赖于联络参数λ与μ。
• 联络D（λ=μ=0）产生黎曼P-曲率，当且仅当θ不闭且θ∘P闭。
• 联络D̃（λ=0，μ=−1/(2n)）产生黎曼P-曲率，当且仅当θ闭且θ∘P不闭。
• 对于满足λ²−μ²−μ/(2n)≠0的联络，R′为黎曼P-张量当且仅当θ与θ∘P均闭。
• 当λ≠0且λ²−μ²−μ/(2n)=0时，R′为黎曼P-张量仅当θ与θ∘P均不闭，且流形不属于W̄₃或W̄₆类。
• 仅当1-形式θ关于该联络平行时，才存在具有平行挠率的自然联络，且此时必有θ∘P闭；若流形属于W̄₃或W̄₆类，则θ亦闭。