[论文解读] Natural pseudo-distance and optimal matching between reduced size functions

Michele D’Amico, Patrizio Frosini+1 more|ArXiv.org|Apr 22, 2008

Advanced Image and Video Retrieval Techniques参考文献 17被引用 8

一句话总结

本文提出了一种稳定且可计算的自然伪距离下界，用于度量函数对之间的自然伪距离，方法是引入一种新的约化大小函数之间的匹配距离。通过将比较建模为这些函数拐点之间的最优匹配问题，该方法提供了最紧致的下界，且已被证明是精确的，并对扰动具有鲁棒性。

ABSTRACT

This paper studies the properties of a new lower bound for the natural pseudo-distance. The natural pseudo-distance is a dissimilarity measure between shapes, where a shape is viewed as a topological space endowed with a real-valued continuous function. Measuring dissimilarity amounts to minimizing the change in the functions due to the application of homeomorphisms between topological spaces, with respect to the $L_\infty$-norm. In order to obtain the lower bound, a suitable metric between size functions, called matching distance, is introduced. It compares size functions by solving an optimal matching problem between countable point sets. The matching distance is shown to be resistant to perturbations, implying that it is always smaller than the natural pseudo-distance. We also prove that the lower bound so obtained is sharp and cannot be improved by any other distance between size functions.

研究动机与目标

• 解决直接计算具有度量函数的拓扑形状之间自然伪距离的计算不可行性问题。
• 开发一种稳定且可计算的自然伪距离下界，避免显式搜索同胚映射。
• 确立所提出的约化大小函数之间的匹配距离是自然伪距离的最佳可能下界。
• 通过证明在 $L_∞$-拓扑下匹配距离的连续性，确保其对数据扰动的鲁棒性。
• 证明不存在其他大小函数之间的距离能提供比所提出的匹配距离更优的下界。

提出的方法

• 使用连通性而非路径连通性来定义约化大小函数，从而获得更优的理论和计算性质。
• 通过拐点（cornerpoints）表示约化大小函数——即扩展实平面上的离散点集——从而实现离散化比较。
• 将匹配距离定义为拐点集之间最优匹配的成本，最小化对应点之间的 $L_∞$-类似距离。
• 证明匹配距离关于度量函数上的 $L_∞$-范数是连续的，从而确保对扰动的鲁棒性。
• 利用一个构造性引理（引理30）证明：对于任意两个约化大小函数，均存在一个拓扑空间及度量函数，使得匹配距离恰好等于该自然伪距离。
• 通过反证法确立匹配距离为最佳可能下界，证明不存在其他距离能使其更紧。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不显式计算同胚映射的情况下，构建一个稳定且可计算的自然伪距离下界？
• RQ2 所提出的约化大小函数之间的匹配距离是否为自然伪距离的最紧致可能下界？
• RQ3 该匹配距离与基于大小函数的现有下界（如文献[7]中的方法）有何关系？
• RQ4 能否使匹配距离对度量函数中的噪声和扰动具有鲁棒性？
• RQ5 是否存在一对形状，使得其自然伪距离恰好等于其约化大小函数之间的匹配距离？

主要发现

• 约化大小函数之间的匹配距离为自然伪距离提供了一个下界，其紧致性优于[7]中的方法，后者依赖于较粗糙的大小函数比较。
• 匹配距离关于度量函数上的 $L_∞$-拓扑是连续的，确保在小扰动下保持稳定。
• 匹配距离被证明是最佳可能下界：不存在其他大小函数之间的距离能提供更紧的下界。
• 对于任意一对约化大小函数，均存在一个拓扑空间及度量函数，使得由此生成的大小对之间的自然伪距离恰好等于匹配距离。
• 当函数为驯服函数（tame functions）时，匹配距离退化为瓶颈距离，从而与持久同调理论建立联系。
• 上确界 $s = \sup_A \min\{\xi - x, y - \eta\}$，其中对满足 $\ell^*_{(\mathcal{M},\varphi)}(x,y) > \ell^*_{(\mathcal{N},\psi)}(\xi,\eta)$ 的点对取值，提供了一个下界，而匹配距离进一步改进了该下界，且被证明至少为 $s$。