[论文解读] Necessary conditions for the depth formula over Cohen-Macaulay local rings

Hailong Dao, Olgur Celikbas|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 27被引用 5

一句话总结

本文建立了 Cohen-Macaulay 局部环上深度公式的必要条件，表明在有限完全交截维数及低高局部化为正则的条件下，所有 Tor 模的消失性既是深度公式成立的必要条件也是充分条件。一个关键结果将 Auslander 定理推广至完全交截，并证明了形式幂级数环的 Veronese 子环上不存在非平凡的半对偶模。

ABSTRACT

Let $R$ be a Cohen-Macaulay local ring and let $M$ and $N$ be non-zero finitely generated $R$-modules. We investigate necessary conditions for the depth formula $\depth(M)+\depth(N)=\depth(R)+\depth(M\otimes_{R}N)$ to hold. We show that, under certain conditions, $M$ and $N$ satisfy the depth formula if and only if $\Tor_{i}^{R}(M,N)$ vanishes for all $i\geq 1$. We also examine the relationship between good depth of $M\otimes_RN$ and the vanishing of $\Ext$ modules, with various applications.

研究动机与目标

• 确定 Cohen-Macaulay 局部环上深度公式成立的必要条件。
• 研究 Tor 与 Ext 模的消失性与张量积深度之间的关系。
• 将深度公式在正则环上的已知结果推广至完全交截与 Veronese 子环。
• 证明形式幂级数环的 Veronese 子环上不存在非平凡半对偶模。
• 在孤立奇点条件下，建立基于 Ext 消失性的深度公式成立的判别准则。

提出的方法

• 使用完全交截维数刻画具有良好同调性质的模。
• 应用 Cohen-Macaulay 环上 Tor 模的消失性，推导深度公式的必要条件。
• 利用 Veronese 子环的除子类群 Cl(R) 的结构，分析挠射模及其张量积。
• 通过典范模建立 Ext 模与张量积之间的对偶性，推导消失条件。
• 利用符号幂的最小生成元数的组合公式，排除非平凡挠射张量积。
• 应用导出深度公式及孤立奇点环中最大 Cohen-Macaulay 模的性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 Cohen-Macaulay 局部环上，深度公式成立的必要条件是 Tor_i^R(M,N) = 0 对所有 i ≥ 1 成立吗？
• RQ2 在具有孤立奇点的环中，Ext 模的消失性如何与张量积的深度相关？
• RQ3 在具有最大 Cohen-Macaulay 模的完全交截环中，深度公式能否通过 Ext 消失性来刻画？
• RQ4 形式幂级数环的 Veronese 子环的除子类群结构如何？它如何限制半对偶模？
• RQ5 当 n > 1 时，k[[x1,…,xd]] 的 Veronese 子环上是否存在非平凡半对偶模？

主要发现

• 若有限生成模 M 与 N 在 Cohen-Macaulay 局部环 R 上满足：M 具有有限完全交截维数，且对所有高度 ≤ edim(R) − depth(R) 的素理想 p，R_p 为正则，则深度公式对 M 与 N 成立当且仅当对所有 i ≥ 1，有 Tor_i^R(M,N) = 0。
• 在具有孤立奇点的 Cohen-Macaulay 局部环上，若 M 为最大 Cohen-Macaulay 模，则深度公式成立当且仅当对所有 i = 1, ..., d，有 Ext^i_R(M, Hom_R(N, ω_R)) = 0。
• Veronese 子环 R = k[[x1,…,xd]]^(n) 上不存在非平凡半对偶模；任何半对偶模必同构于 R 或其典范模 ω_R。
• 若 I 与 J 是 R = k[[x1,…,xd]]^(n) 的类群中的理想类，且 I ⊗_R J 是挠射模，则 I 或 J 至少有一个为自由模。
• 在 R = k[[x1,…,xd]]^(n) 中，类群生成元 L 的第 i 个符号幂的最小生成元数为 μ(L^(i)) = (n + d − i − 1)! / (d − 1)!，其中 i = 1,…,n−1。
• Veronese 子环类群中 μ(I)μ(J) = μ(IJ) 的等式导致一个二项式恒等式，除非参数退化，否则必使 I 或 J 为平凡类，从而排除非平凡挠射张量积。