[论文解读] Nef and Effective Cones on the Moduli Space of Torsion Sheaves on the Projective Plane

Matthew Woolf|arXiv (Cornell University)|May 7, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用 23

一句话总结

本文证明了当 $\mu \geq 3$ 时，$\mathbb{P}^2$ 上半稳定一维层的Simpson模空间 $N(\mu,\chi)$ 是Picard数为2的Mori梦空间，并完全计算了其 nef 与有效锥。通过模空间的几何结构及诸如到对称幂曲线上映射的例外子簇维数等不变量，本文证明了两个此类模空间同构当且仅当 $\chi \equiv \pm \chi' \pmod{\mu}$。

ABSTRACT

In this paper, we study the divisor theory of the Simpson moduli space of semistable sheaves of dimension 1 on the projective plane. We prove that these spaces are all Mori dream spaces, and calculate their nef cones. We also study the effective cones of these spaces for most choices of numerical invariants. As a consequence, we work out precisely when two such spaces are isomorphic.

研究动机与目标

• 理解 $\mathbb{P}^2$ 上半稳定一维层的 Simpson 模空间 $N(\mu,\chi)$ 的除子理论——特别是其 nef 锥与有效锥。
• 证明这些模空间是 Mori 梦空间，从而在 Picard 数为2的情况下仍保证良好的有理几何性质。
• 精确确定两个模空间 $N(\mu,\chi)$ 与 $N(\mu',\chi')$ 同构的条件，特别是当 $\mu \geq 3$ 时。
• 将有效锥与层的上同调不变量（如 $h^0(E \otimes \mathcal{F})$）联系起来，并将 nef 锥与几何结构（如到对称幂曲线上映射）联系起来。

提出的方法

• 使用 Bridgeland 稳定性条件分析导出范畴中的不稳定对象与墙穿插行为。
• 从 $N(\mu,\chi)$ 构造一个到 $\mathbb{P}^2$ 中次数为 $\mu$ 的曲线空间的典范映射，将 $\mathcal{O}(1)$ 拉回以定义一个特殊除子类。
• 识别 nef 锥的第二条边为某个正则映射下某个正则除子的拉回，其纤维通过曲线上线丛的描述得以刻画。
• 通过识别使得 $h^0(E \otimes \mathcal{F})$ 下降的子簇上出现的除子类，计算有效锥。
• 利用 Jordan-Hölder 分解与 S-等价类分析半稳定层及其模空间。
• 分析典范映射 $f: N(\mu,\chi) \to \mathbb{P}^{\binom{\mu+2}{2}-1}$ 的例外子簇，证明其维数依赖于 $|\epsilon|$，其中 $\epsilon = \chi - \frac{1}{2}\mu(\mu-3) \mod \mu$。

实验结果

研究问题

• RQ1 模空间 $N(\mu,\chi)$ 上一维层的 nef 锥结构如何？
• RQ2 模空间 $N(\mu,\chi)$ 的有效锥如何与层的上同调不变量（如 $h^0(E \otimes \mathcal{F})$）相关？
• RQ3 在何种条件下两个模空间 $N(\mu,\chi)$ 与 $N(\mu',\chi')$ 同构，特别是当 $\mu \geq 3$ 时？
• RQ4 典范映射 $f: N(\mu,\chi) \to \mathbb{P}^{\binom{\mu+2}{2}-1}$（将层发送至其支撑）的几何结构如何反映模空间的有理类型？
• RQ5 参数 $\epsilon = \chi - \frac{1}{2}\mu(\mu-3) \mod \mu$ 在通过例外子簇维数区分模空间方面起什么作用？

主要发现

• 当所有 $\mu \geq 3$ 时，模空间 $N(\mu,\chi)$ 是 Mori 梦空间，即使 Picard 数为2，也保证了良好的有理几何性质。
• 模空间 $N(\mu,\chi)$ 的 nef 锥有两条边：一条由到次数为 $\mu$ 的曲线空间的 $\mathcal{O}(1)$ 的拉回张成，另一条由某个正则映射下正则除子的拉回张成，其纤维为曲线的对称幂。
• 有效锥由典范除子与一个来自固定向量丛 $E$ 满足 $h^0(E \otimes \mathcal{F})$ 下降的子簇上出现的除子类生成，该除子类位于第二条边。
• 当 $\mu \geq 3$ 时，$N(\mu,\chi) \cong N(\mu,\chi')$ 当且仅当 $\chi \equiv \pm \chi' \pmod{\mu}$，同构类型由 $\epsilon = \chi - \frac{1}{2}\mu(\mu-3) \mod \mu$ 的绝对值决定。
• 典范映射 $f: N(\mu,\chi) \to \mathbb{P}^{\binom{\mu+2}{2}-1}$ 的例外子簇维数为 $|\epsilon|$，当 $\chi \not\equiv \pm \chi' \pmod{\mu}$ 时可区分非同构的模空间。
• 当 $\mu = 3$ 时，映射 $N(3,1) \to \mathbb{P}^2$ 是一个将光滑三次曲线上线丛定义点记忆下来的态射，且该映射是双有理的。