[论文解读] Negative Pressure and Naked Singularities in Spherical Gravitational Collapse

F. I. Cooperstock, Sanjay Jhingan+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 1996

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 12被引用 34

一句话总结

本文研究了球对称引力坍缩中非中心壳层聚焦奇点在何种条件下会隐藏于事件视界之后或成为裸奇点。在共动坐标系下使用爱因斯坦场方程并假设弱能量条件，结果表明：当径向压强满足 $ p_r / \rho \leq -1/3 $ 时，会形成裸奇点；而当 $ p_r / \rho > -1/3 $ 时，则形成被覆盖的奇点，这一结论与切向压强或质量函数的行为无关。

ABSTRACT

Assuming the weak energy condition, we study the nature of the non-central shell-focussing singularity which can form in the gravitational collapse of a spherical compact object in classical general relativity. We show that if the radial pressure is positive, the singularity is covered by a horizon. For negative radial pressures, the singularity will be covered if the ratio of pressure to the density is greater than -1/3 and naked if this ratio is $\leq -1/3$.

研究动机与目标

• 确定球对称引力坍缩中非中心壳层聚焦奇点成为裸奇点或被事件视界隐藏的条件。
• 分析径向压强（尤其是负径向压强）在弱能量条件下对裸奇点形成的作用。
• 基于比值 $ p_r / \rho $ 建立一个与坐标切片无关的奇点裸露或被覆盖的判据。
• 探讨当 $ p_r / \rho \leq -1/3 $ 时，曲率奇点是否仍能形成，即使存在可能阻止奇点形成的条件。

提出的方法

• 在共动坐标系下表述球对称度规，并应用爱因斯坦场方程，能量-动量张量为 $ T_{ik} = \text{diag}(-\rho, p_r, p_\theta, p_\theta) $。
• 应用弱能量条件：$ \rho \geq 0 $，$ \rho + p_r \geq 0 $，$ \rho + p_\theta \geq 0 $，确保质量函数 $ m(t,r) $ 非负。
• 利用从 $ m' = 4\pi\rho R^2 R' $ 和 $ \dot{m} = -4\pi p_r R^2 \dot{R} $ 推导出的质量函数 $ m(t,r) $，分析向奇点演化的过程。
• 分析当 $ R \to 0 $ 时 $ 2m/R $ 的行为，以判断是否形成 trapped 表面，其中 $ 2m/R < 1 $ 表示裸奇点。
• 考虑具有状态方程 $ p = k\rho $，$ -1 \leq k < 0 $ 的理想流体，并推导 $ m(R,r) $ 在 $ R \to 0 $ 时的渐近行为，以确定奇点的性质。
• 对 $ (R,r) $ 进行坐标变换，推导出关键的渐近形式 $ m \approx \frac{1}{2}R - B_0(r) R^{7 + 2(n-3)/(1+k)} $，从而实现对 $ R $ 的幂律依赖关系的分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，球对称坍缩中的非中心壳层聚焦奇点会成为裸奇点？
• RQ2 负径向压强如何影响 trapped 表面的形成以及奇点的可见性？
• RQ3 在球对称坍缩中，区分被覆盖奇点与裸奇点的 $ p_r / \rho $ 的临界值是什么？
• RQ4 当 $ p_r / \rho \leq -1/3 $ 时，即使 $ \rho + 3p < 0 $（如某些宇宙学模型中所示），曲率奇点是否仍能形成？
• RQ5 在奇点处 $ 2m/R < 1 $ 的判据是否与坐标切片无关，且是否为裸奇点的可靠指标？

主要发现

• 当 $ p_r / \rho > -1/3 $ 时，非中心奇点始终被事件视界覆盖，无论切向压强或质量函数行为如何。
• 当 $ p_r / \rho \leq -1/3 $ 时，非中心奇点为裸奇点，因为在 $ R \to 0 $ 的极限下满足 $ 2m/R < 1 $ 的条件。
• 裸奇点形成的临界阈值为 $ p_r / \rho = -1/3 $，该值由质量函数渐近展开中 $ R $ 的幂次等于 1 的要求导出。
• 当 $ 2m/R \to 1 $ 时，奇点为边缘裸露；当 $ 2m/R < 1 $ 时，奇点完全裸露，这恰好发生在 $ k \leq -1/3 $ 时。
• 分析表明，此类情境下的裸奇点必然是无质量的，因为当 $ p_r < 0 $ 时，$ m \to 0 $ 在奇点处成立。
• 判据 $ 2m/R < 1 $ 是切片无关的，因为它基于面积半径 $ R $，因此是判断无 trapped 表面存在的稳健指标。