[论文解读] New characterizations of plurisubharmonic functions and positivity of direct image sheaves

Fusheng Deng, Zhiwei Wang+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2018

Geometry and complex manifolds参考文献 18被引用 20

一句话总结

本文通过 $L^p$ 拓展性质与奇异 Finsler 度量，提出了全纯向量丛的普利斯库哈尔函数与格里菲斯正性的新刻画。研究证明，若 Ohsawa-Takegoshi 拓展定理对权函数 $e^{-m\varphi}$ 成立，则 $\varphi$ 为全纯凸函数，并将此结果应用于证明在凯勒流形族中，广义 Bergman 核度量的全纯凸变体性以及扭曲相对 canonical 丛的直接像层的格里菲斯正性。

ABSTRACT

We give new characterizations of plurisubharmonic functions and Griffiths positivity of holomorphic vector bundles with singular Finsler metrics. As applications, we present a different method to prove plurisubharmonic variation of generalized Bergman kernel metrics and Griffiths positivity of the direct images of twisted relative canonical bundles associated to holomorphic families of Kähler manifolds.

研究动机与目标

• 基于全纯截面的 $L^p$ 拓展性质，提供全纯凸函数的新刻画。
• 建立拓广定理与扭曲相对 canonical 丛的直接像层正性之间的几何联系。
• 为证明凯勒流形族中广义 Bergman 核度量的全纯凸变体性与格里菲斯正性，提出一种新方法。
• 深化对凝聚解析层上奇异 Finsler 度量及其曲率性质的理解。

提出的方法

• 利用带权函数 $e^{-m\varphi}$ 的 Ohsawa-Takegoshi 拓展定理，通过 $\frac{1}{m}\log K_m$ 的渐近行为刻画全纯凸函数。
• 在全纯向量丛上构造奇异 Finsler 度量，并利用拓广理论准则分析其格里菲斯正性。
• 通过纤维上积分的方法在直接像层上应用 Hodge 型度量，当纤维为平凡时，将度量与 $\varphi$ 关联起来。
• 将正性问题约化为对对偶丛全纯截面 $u$ 的 $\log|u|$ 的全纯凸性，利用拓广定理与 $L^2$ 估计。
• 利用正规族与 Montel 定理，证明 $\log|u|$ 在紧子集上有界，从而实现向全纯凸函数的延拓。
• 通过三步论证证明主要结果：(1) 在拓广假设下 $\log|u|$ 的全纯凸性，(2) 在 Stein 流形上向子丛的延拓，(3) 利用正规族在紧集上 $\log|u|$ 的有界性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，若 Ohsawa-Takegoshi 拓广定理对权函数 $e^{-m\varphi}$ 成立，则可推出 $\varphi$ 为全纯凸函数？
• RQ2 能否通过拓广性质而非曲率估计来刻画扭曲相对 canonical 丛的直接像层的正性？
• RQ3 当 $K_m$ 为加权 Bergman 核时，$\frac{1}{m}\log K_m$ 的渐近行为如何与 $\varphi$ 的全纯凸性相关联？
• RQ4 奇异 Finsler 度量在刻画全纯向量丛的格里菲斯正性中起何种作用？
• RQ5 能否通过拓广理论准则证明直接像层上的 NS 度量在格里菲斯意义下为正曲率？

主要发现

• 若对所有 $m \geq 1$，Ohsawa-Takegoshi 拓广定理在权函数 $e^{-m\varphi}$ 与增长条件 $\lim_{m\to\infty} \frac{1}{m}\log C_m = 0$ 下成立，则 $\varphi$ 为全纯凸函数。
• 广义 $m$-Bergman 核度量在强伪凸域与紧凯勒流形族中呈现全纯凸变体性。
• 在满足拓广条件时，直接像层 $\pi_*(K_{X/Y} \otimes L \otimes \mathcal{I}_k(h))$ 携带一个格里菲斯正的奇异 Finsler 度量。
• 在 $p_*(kK_{X/Y} \otimes L \otimes \mathcal{I}_k(h))$ 上的 NS 度量在格里菲斯意义下为正曲率，此结论由定理 8.2 与定理 9.3 所示。
• 全纯向量丛 $\mathcal{E}^*$ 的截面 $u$ 的范数在紧子集上有界，使得 $\log|u|$ 可延拓为基空间上的全纯凸函数。
• 证明通过构造利用 Ohsawa-Takegoshi 定理的全纯函数并应用具有统一常数的 $L^2$ 估计，确立了 $\log|u|$ 的全纯凸性。